直覺主義——數學概念是自主的智力活動

2020-09-26 數學經緯網

直覺主義的哲學思想來自康德。它特別強調人的直覺對數學概念的作用。

布勞威爾：構造出的自然數

作為直覺主義學派的創始人和代表人物，布勞威爾提出了他對數學對象的看法。


布勞威爾


數學中最基本的東西是什麼呢？他認為是自然數。自然數怎麼來的呢？他認為是靠人直觀地理解從1開始每次加1這個過程。也就是反覆領會這麼一串符號：

|，||，|||，||||，|||||，…

當然，也可以是*，**，***，****，…他認為，人確實具有先天的直覺能力，能肯定這樣能一個一個地把自然數構造出來。因此，數學對象是人靠智力活動構造出來的。

這樣，就否定了柏拉圖主義自然數是客觀存在的觀點。認為自然數客觀存在，必然認為自然數總體是存在的。因而承認實無窮，即無窮集合。如果認為自然數是這麼一個一個構造出來的，承認不承認自然數總體呢？布勞威爾認為不能考慮自然數總體。因為直覺可以想像構造出每一個確定的自然數，卻不能想像構造出全體自然數的過程，因為那需要無窮的時間。

康德認為人的數學直覺分為時間與空間兩方面，布勞威爾認為，時間直覺已經夠了。有時間感，可以分先後次序，就可以從直觀上把握自然數的產生過程。

康德

構造性數學

直覺主義認為：數學的對象，必須能像自然數那樣明顯地用有限步驟構造出來，才可以認為是存在的。什麼全體自然數，全體實數，統統無法考慮，因為構造不出來！因此，他們主張一種「構造性數學」。於是，直覺主義也被叫做構造主義者。

這種否定實在無窮的觀點，最早可以追溯到亞里斯多德。在數學家當中，康託的老師克朗南格也反對無窮集的觀點。主張數學研究的對象一定要能夠在有限步驟之內構造出來，構造不出來的就不存在。

比如，π= 3.14159265… ，它的每一位小數都是可以計算出來的。現在用下述辦法定義一個數d：

(A)如果數列「0123456789」在π的十進小數表示式中反覆出現無窮多次，就規定d=1。

(B)如果數列「0123456789&FF2600; --tt-darkmode-color: #FF2600;">否認了邏輯上「排中律」在數學中的應用。在數學中，常常使用反證法。反證法就是應用排中律。而直覺主義就不同意使用反證法。他們主張，要證明一個命題，只能從正面證明。用反證法只證明了命題的否命題不成立，而沒有證明命題成立。

這樣一來，事情就鬧大了。集合論，實數理論，微積分...各個數學分支的大部分基本論證都成為不合法的了。因此多數數學家都不接受直覺主義的觀點。因為損失太大。

布勞威爾在自己觀點指導下開始了龐大的工程。他建立了構造性的數學：構造性實數，構造性集合論，構造性微積分。在計算機出現之後，構造性數學有了大用場。因為計算機只處理可構造出來的具體符號串。

圖四 計算機內部

直覺主義派的貢獻

直覺主義派不但沒使數學受到損害，反而用構造性數學使這一領域大大豐富了。

還有一個有趣的現象：直覺主義派的數學家們自己的數學實踐活動並不限於構造性數學。像波雷爾，龐加萊，勒貝格這些數學大師們，儘管觀點上是直覺主義的，但他們在數學上的主要貢獻都是非構造性。布勞威爾在數學上最突出的貢獻是「不動點定理」，這個定理的證明用的恰恰是布勞威爾所禁止使用的反證法。

我國著名數學家吳文俊教授指出，中國古代數學是構造性數學。在每一個問題中都力求給出構造性的解答。吳文俊教授還指出：由於計算機技術的發展，構造性數學在不遠的將來將出現大的發展，甚至成為數學的主流。

中國古代數學

但是，直覺主義的觀點和工作仍沒有達到否定柏拉圖主義的目的。他們使數學家認識到，數學論證有可構造與不可構造之分。但又怎樣使持有柏拉圖主義的數學家們承認：不可構造的數學對象在客觀上是不存在的呢？


本文來源於書籍 張景中《數學與哲學》

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