數學危機
20世紀以來，數學的抽象化促使了數學與哲學的再次結合，這是自古希臘時代和17世紀笛卡爾的時代之後的第三次結合，巧合的是三次的數學危機在時間上也幾乎一致。古希臘時期的畢達哥拉斯學派發現了無理數，從而引發了首次數學危機。微積分的誕生，作為微積分基礎概念的無窮小量，像幽靈一樣困惑著人們，直到柯西發展了極限理論，這一問題才得到解決。隨著分析的嚴格化以及集合論的誕生，數學家們本以為能永遠的擺脫來自數學基礎層面的數學危機。
龐加萊1900年，法國龐加萊在巴黎的數學家大會上宣稱：「現在我們可以說，完全的嚴格化已經實現了！」然而打臉的是，第二年英國的數學家、哲學家羅素給出了集合論的一個悖論——羅素悖論，矛頭直指數學基礎，引發第三次數學危機。羅素悖論的通俗形式「理髮師悖論」：
某鄉村理髮師宣布了一條規則：他決定給所有不給自己刮臉的人刮臉，並且只給村裡這樣的人刮臉。試問：理髮師是否給自己刮臉呢？
極限理論使得分析嚴格化，也化解了數學的第二次危機，但是極限理論是以實數為基礎的，而實數理論又是以集合論為基礎的，現在集合論遭遇了羅素悖論，為消除悖論，數學家們開始著手對集合論公理化的工作。首先是德國數學家策梅羅(E.Zermelo)提出7條公理，建立了一種不會產生悖論的集合論；然後經過德國數學家弗蘭克爾(A.A.Fraenkel)的改進，成為了名為「ZF公理系統」的無矛盾集合論公理系統。至此，第三次數學危機得到緩解。那麼ZF公理系統本身會不會出現矛盾問題呢？美國數學家科恩證明，在ZF公理系統下康託爾連續統假設的真偽無法判別，科恩因此獲得了1966年的菲爾茲獎。
羅素於是，為繼續進一步的解決集合論的悖論，數學家開始從邏輯上去尋找答案。由於數學家的觀點分歧，形成了數學基礎的三大學派：以羅素為代表的邏輯主義學派，以布勞威爾為代表的直覺主義學派，以希爾伯特為代表的形式主義學派。三大學派的形成和活躍，對由萊布尼茨開啟的數理邏輯學的形成和發展起到了推動作用。下面一段文字是三個學派的簡述，可以選擇閱讀。
邏輯主義學派認為，數學就是邏輯，全部數學都可以由邏輯推導得出，而不需要數學所特有的任何公理。數學概念可以通過邏輯概念來定義，數學定理可以由邏輯公理按邏輯規則推導得出。與邏輯主義學派相反，直覺主義的基本思想是：數學獨立於邏輯。堅持數學對象的「構造性」定義，是直覺主義的精粹，要證明對象的存在，必須同時證明它可以用有限的步驟構造出來。在集合論中，直覺主義只承認可構造的有窮集合，這導致了「排中律」被否定。希爾伯特在批判直覺主義否定排中律的同時，主張：數學思維的基本對象是數學符號本身，而非它們所表示的意義。形式主義在吸收直覺主義的某些觀點的同時，保留了排中律，引進了「超限公理」，證明了施以若干限制的自然數理論的相容性。
哥德爾不完備性定理
在邏輯主義學派、直覺主義學派和形式主義學派活躍時候，橫跨數學和哲學兩個領域的哥德爾提出了震驚世界的哥德爾第一和第二不完備性定理：
哥德爾第一完備性定理：對於包含自然數系的形式體系F，如果是相容的，則F中一定存在一個不可判定命題S，使得S與S之否定在F中皆不可證。
哥德爾第二完備性定理：對於包含自然數系的形式系統F，如果是相容的，則F的相容性不能在F中被證明。
哥德爾第一完備性定理的意思是說，自然數系的任何公設集如果是相容的，就是不完備的。由此可得知：任何形式系統都不能完全刻畫數學理論，總有些問題從形式系統的公理出發不能解答。幾年後，美國數學家丘奇證明了，對於包含自然數系的任何相容的形式體系，不存在有效的方法，判定該體系的哪些命題在其中是可證的。哥德爾第二完備性定理的意思是說，經典數學的內部相容性不可證。
愛因斯坦與哥德爾哥德爾的不完備性定理表明了，數學達不到完全的公理推演，也無法保證其內部不存在矛盾。這是公理化方法的局限性，數學證明的程序無法確實不與形式公理的程序相符；人類的智慧不能被完全的公式化所替代。對於形式系統來說，「可證」是可以機械地實現的，「真」則需要進一步的思想能動性。換句話說，可證的命題必然是真的，但真的命題卻未必是可證的。
腦洞風暴
《易經》告訴我們，有看得見的就有看不見的。那哥德爾告訴我們，數學中的命題有可證的，也有不可證的。物理上的測不準告訴我們，有可觀測的就有不可觀測的。即便如此，所有這些都還是被我們所認知了的，那麼我的問題就是有沒有我們不可或不能認知的？如果說有人類無法認知的事情，那我們如何相信無法認知的事物確實存在，和我們又有什麼關係；如果說沒有，肯定不能以我們認知不到為依據進而否定其存在，那我們科技發展或生命進化的盡頭、意義在哪呢。對於我們先不講，往「下」看：那對於地球上的其他動物來講，抽象的數學概念確實是它們不能認知的。如果說鬼神，以及更高級智慧的生命形式或者外星人了解著我們無法認知的事情，就像我們掌握理解了狗狗不能掌握的科技……。再比如：從小到大收到的教育是鬼神不存在，確沒有支持鬼神不存在的依據；與其說鬼神不存在是科學，不如說是科學家的態度。