粒子碰撞的數學結構進入視野

當粒子物理學家嘗試對實驗建模時，他們面臨著不可能的計算-無限長的方程式，這超出了現代數學的範圍。

幸運的是，他們可以生成非常準確的預測，而無需完全了解這種神秘的數學運算。通過縮短計算時間，歐洲核子研究組織（CERN）歐洲大型強子對撞機的科學家，做出的預測與他們將近27公裡的軌道發射的亞原子粒子相互衝撞時實際觀察到的事件相匹配。

不幸的是，預測與觀察之間達成一致的時代可能即將結束。隨著測量變得越來越精確，理論家用來做出預測的近似方案可能無法跟上。

歐洲核子研究中心（CERN）的粒子物理學家克勞德·杜爾（Claude Duhr）說：「我們快要精疲力盡。」

但是，由義大利帕多瓦大學的皮爾帕奧洛·馬斯特羅利亞（Pierpaolo Mastrolia）和新澤西州普林斯頓高級研究所的塞巴斯蒂安·米塞拉（Sebastian Mizera），領導的一隊物理學家最近發表的三篇論文，揭示了這些方程式的基本數學結構。該結構提供了一種將無限可能的術語摺疊成幾十個基本組件的新方法。他們的方法可能有助於帶來更高水平的預測準確性，如果理論家想超越領先但不完整的粒子物理學模型，則迫切需要這些預測準確性。

杜爾說：「他們已經提供了許多概念驗證結果，表明這是一種非常有前途的技術。」

新方法通過直接計算&34;來繞過傳統的數學方法，一些人希望最終能夠對亞原子世界進行更優雅的描述。

量子理論家麥吉爾大學的西蒙·卡隆-胡特（Simon Caron-Huot）說：「這不僅僅是數學。」麥吉爾大學正在研究馬斯特洛裡亞和梅塞拉的著作的含義。「這是量子場論深深紮根的東西。」

無限循環

當物理學家對粒子碰撞進行建模時，他們使用一種稱為費曼圖的工具，這是理察·費曼（Richard Feynman）在1940年代發明的簡單示意圖。

為了感受一下這些圖，請考慮一個簡單的粒子事件：兩次夸克進入，「碰撞」時交換單個膠子，然後沿各自的軌跡彈開。

在費曼圖中，夸克的路徑用「腿（legs）」表示，當粒子相互作用時，它們合在一起形成「頂點（vertices）」。費曼（Feynman）制定了將這幅漫畫轉變成方程的公式，該方程可計算事件實際發生的可能性：您為每條腿和每個頂點編寫一個特定的函數（通常是一個涉及粒子質量和動量的分數），並將所有乘積相加。

但是量子理論的黃金法則是考慮所有可能性，而交換簡單的膠子只是在兩個夸克碰撞時可能發生的廣闊場景中的一個。例如，交換後的膠子可能會瞬間分裂成「虛擬」夸克對，然後瞬間將其重構。進入兩個夸克，離開兩個夸克，但是中間可能發生很多事情。完整的會計處理，意味著一個完美的預測，將需要無限數量的圖表。沒有人期望完美，但是提高計算精度的關鍵是在無數事件中走得更遠。

這就是物理學家陷入困境的地方。

放大該隱藏中心涉及虛擬粒子——量子波動會微妙地影響每次互動的結果。像許多虛擬事件一樣，上面的夸克對的短暫存在是由帶有閉合「環」的費曼圖表示的。迴路使物理學家感到困惑——它們是黑匣子，會引入無限種情況的其他層次。為了計算循環所隱含的可能性，理論家必須求助於求和運算，稱為積分。這些積分在多迴路費曼圖中佔據了巨大的比例，隨著研究人員沿著這條直線前進，並在更複雜的虛擬交互作用中摺疊，這些積分開始發揮作用。

物理學家有算法來計算無環和單環場景的概率，但許多雙環衝突使計算機屈服。這給預測精度和物理學家如何理解量子理論所說的內容設定了上限。

但是，這裡有一個小小的憐憫：物理學家不需要計算複雜的費曼圖中的每個最後一個積分，因為絕大多數可以合併在一起。

數千個積分可以簡化為數十個「主積分」，將它們加權並加在一起。但是，究竟可以將哪些積分包含在哪些主積分中，本身卻是一個困難的計算問題。研究人員使用計算機本質上猜測了數百萬個關係，並費勁地提取了重要積分的組合。

但是，有了相交數，物理學家可能已經找到了一種方法，可以從龐大的費曼積分計算中從容地提取出基本信息。

幾何指紋

馬斯特羅利亞和米塞拉的工作植根於稱為代數拓撲的純數學分支，該數學對形狀和空間進行了分類。數學家使用「同調」理論進行這種分類，這使他們能夠從複雜的幾何空間中提取代數指紋。

法國蒙彼利埃大學的數學家克萊門特·杜邦（ClémentDupont）說：「這是一個總結，是一個代數小工具，融合了您想學習的空間的本質。」

費曼圖可以轉換為適合通過同調分析的幾何空間。這些空間內的每個點可能代表了多個場景中的一種，當兩個粒子碰撞時，這些場景可能會出現。

您可能天真地希望通過採用該空間的同調性（找到其代數結構），可以計算支持該空間的主積分的權重。但是，表徵大多數費曼圖的幾何空間類型以一種可以抵抗許多同調計算的方式發生了扭曲。

2017年，米塞拉艱難地分析了弦論中的對象是如何碰撞的，當時他偶然發現了由以色列傑爾芬德（Gelfand）和安本和彥（Azumoto Kazuhiko），在20世紀70年代和80年代率先使用的稱為「古怪的上同調」的同調方法開發的工具。那年下半年，米塞拉遇到了馬斯特羅利亞，後者意識到這些技術也可以用於費曼圖。去年，他們發表了三篇論文，使用這種同調論來簡化涉及簡單粒子碰撞的計算。

他們的方法採用一系列相關的物理方案，將其表示為幾何空間，然後計算該空間的扭曲同調性。米塞拉說：「這種古怪的同調性對我們感興趣的積分有話要說。」

特別地，扭曲的同調性告訴他們期望有多少個主積分以及它們的權重是多少。權重以它們稱為「相交數」的值出現。最後，數千個積分縮小為數十個主積分的加權和。

產生這些相交數的同調理論不僅可以減輕計算負擔，而且還可以指出計算中最重要量的物理意義。

例如，當虛擬膠子分裂成兩個虛擬夸克時，夸克的可能壽命可能會有所不同。在相關的幾何空間中，每個點可以代表不同的夸克壽命。當研究人員計算權重時，他們會看到具有最長持續虛擬粒子的場景（即粒子實質上變為真實的情況）對結果的影響最大。

「這種方法真是太神奇了，」卡隆-胡特（（ Caron-Huot）說，「它從這些罕見的特殊事件開始重建一切。」

上周，米塞拉、馬斯特羅利亞及其同事發表了另一篇預印本，表明該技術已經足夠成熟，可以處理現實世界中的兩迴路圖。卡隆-胡特（即將發表的論文將進一步推動該方法的發展，也許是緊隨其後的是三環圖。

如果成功，該技術將有助於引入下一代理論預測。 而且，一些研究人員懷疑，這甚至可能預示著對現實的新視角。