數學的「花招」如何挽救粒子物理

在20世紀40年代，開拓性物理學家偶然發現了另一個隱秘的現實。粒子消失了，而場——膨脹的、起伏的實體像海洋一樣充滿了空間——出現了。場中存在兩個微粒子產生的波，這兩個粒子分別是電子和光子，它們之間的相互作用似乎可以解釋所有電磁事件。

只有一個問題：理論與希望和祈禱粘合在一起。研究人員只有通過使用被稱為重正化(Renormalization)的技術，即小心翼翼地隱藏無限量的技術，研究人員才能迴避虛假的預測。這個過程奏效了，但是即使是那些發展這一理論的人也懷疑，這可能是一個建立在扭曲的數學技巧的紙牌屋。

「這就是我所說的『瘋癲過程』。」 理察·費曼（Richard Feynman）後來寫道，「求助於這種『瘋癲過程』，使我們無法證明量子電動力學理論在數學上是自洽的。」

幾十年後，一個似乎無關的物理學分支機構為其辯護。研究磁化強度的研究人員發現，重正化(Renormalization)根本不是關於無限性的。取而代之的是，它談到了將宇宙分為獨立大小的王國的觀點，這一觀點指導了當今物理學的許多角落。

劍橋大學的理論家戴維•唐（David Tong）寫道，重正化(Renormalization)「無疑是過去50年來理論物理學中最重要的單個進步。」

電荷的故事

在某些方面，場理論是所有科學中最成功的理論。量子電動力學理論（QED）構成了粒子物理學標準模型的一個支柱，它做出了與實驗結果相符的理論預測，精確度達到了十億分之一。

但在20世紀30年代和40年代，這一理論的未來還遠未得到保證。近似於場的複雜行為往往給出荒謬的無限答案，這使一些理論家認為場論可能是死路一條。

費曼和其他人尋求了全新的視角——也許甚至可以使粒子再回到中心舞臺——但後來卻遭到了部分領域科學家們的抨擊。他們發現，如果用難以理解的重正化程序修補，量子電動力學理論（QED）的方程式就可以做出可預見的預測。

練習是這樣。當QED計算導致無窮大時，將其縮短。將想要變得無窮大的部分填充成一個係數，在和前面加入一個固定的數字。用實驗室的有限測量值代替該係數。最後，讓新&34;的總和回到無窮大。

在某些人看來，這種處理方法就像是一場空殼遊戲。一位開創性的量子理論家保羅·狄拉克（Paul Dirac）寫道：「這不是明智的數學。」

問題的核心以及最終解決方案的種子，可以從物理學家如何處理電子電荷中看出。

在以上方案中，電荷來自係數——在數學混排過程中吞沒無窮大的值。對於那些對重正化的物理意義感到困惑的理論家來說，QED暗示電子具有兩個電荷：理論電荷是無限的，而實測電荷不是。也許電子的核心擁有無限的電荷。但是在實踐中，量子場效應（可以將其可視化為正粒子的虛擬雲）掩蓋了電子，因此實驗者只能測量到適度的淨電荷。

默裡·蓋爾曼（Murray Gell-Mann）

1954年，兩位物理學家默裡·蓋爾曼（Murray Gell-Mann）和弗朗西斯·洛（Francis Low）充實了這一思想。他們將兩個電子電荷與一個隨距離變化的「有效」電荷聯繫起來。您越靠近（並且越穿透電子的正極披風），您看到的電荷就越多。

他們的工作是第一個將重正化與規模概念聯繫起來的工作。它暗示了量子物理學家已經為錯誤的問題找到了正確的答案。他們應該專注於將微觀與宏觀聯繫起來，而不是為無窮而煩惱。

南丹麥大學的物理學家阿斯特裡德·艾希霍恩（Astrid Eichhorn）說，重正化是「顯微鏡的數學版本」，他使用重正化來搜索量子引力理論。相反，您可以從顯微系統開始並縮小，它是顯微鏡和望遠鏡的結合。

磁鐵是救星

凝聚態世界中出現了第二個線索，物理學家對此感到困惑，一個粗糙的磁體模型如何設法確定某些轉換的精細細節。Ising模型僅由原子箭頭網格組成，每個原子箭頭只能向上或向下指向，但它預測了現實生活中磁鐵的行為，但不可能做到完美。

在低溫下，大多數原子排列，使材料磁化。在高溫下，它們無序生長，晶格消磁。但是在一個關鍵的過渡點，各種尺寸的排列的原子島並存。至關重要的是，在Ising模型中，在各種材料的真實磁體中，甚至在不相關的系統（例如高壓轉換中，水與蒸汽都無法區分）中，某些量在此「臨界點」附近變化的方式似乎都是相同的。這種現象被理論家稱為普遍性，這一發現與發現大象和白鷺以完全相同的最高速度運動一樣奇怪。

物理學家通常不會同時處理不同大小的物體。但是圍繞關鍵點的普遍行為迫使他們立即考慮所有長度尺度。

圖註：在塊區自旋（block spin）重正化中，單個旋轉的精細網格被平均轉換為逐漸較大的塊。

凝聚態研究者裡奧·卡丹諾夫（Leo Kadanoff）於1966年找到解決方法。他開發了一種「塊區自旋（block spin）」技術，將一個過於複雜而無法正面處理的Ising網格，分成兩邊各有幾個箭頭的適度區域。他計算了一組箭頭的平均方向，並用該值替換了整個塊。重複此過程，他使網格的精細細節變得平滑，並縮小以查看系統的整體行為。

最終，肯·威爾遜（Ken Wilson）是蓋爾·曼（Gell-Mann）的前研究生，在粒子物理學和凝聚態世界中都有著一席之地——將蓋爾·曼（Gell-Mann）和弗朗西斯·洛的思想與卡丹諾夫的思想相結合。他在1971年首次描述的他的「重正化小組」證明了QED的折磨計算是合理的，並為上升通用系統的規模提供了一個階梯。這項工作為威爾遜獲得了諾貝爾獎，並永久改變了物理學。

牛津大學凝聚態理論家保羅·芬德利（Paul Fendley）說，概念化威爾遜重正化組的最佳方法是將微觀與宏觀聯繫起來的「理論」。

考慮磁柵。在微觀層面上，可以很容易地編寫一個公式，將兩個相鄰的箭頭連結起來。但是，採用該簡單公式並將其外推到數萬億個粒子實際上是不可能的。您正在以錯誤的規模進行思考。

威爾遜的重正化小組描述了從構造塊理論到結構理論的轉變。您從小碎片理論開始，假設一個撞球中的原子，轉動一下威爾遜的數學曲柄，您會得到一個描述這些碎片群相關的理論。當您不斷轉動時，您會放大到越來越大的分組——撞球分子簇，撞球扇區等。最終，您將能夠計算出一些有趣的東西，例如整個撞球的軌跡。

這是重正化組的魔力：它有助於確定哪些大圖片量對測量有用，哪些令人費解的微觀細節可以忽略。衝浪者關心波浪的高度，而不是水分子的擁擠。類似地，在亞原子物理學中，重正化告訴物理學家何時可以處理相對簡單的質子，而不是其內部夸克的糾纏。

威爾遜的重正化小組還建議，費曼和他同時代人的困境來自試圖無限接近地了解電子。英國達勒姆大學物理學家詹姆斯·弗雷澤（James Fraser）說：「我們不希望[理論]適用於任意小的[距離]尺度。」數學上將總和縮短並改寫無窮大是正確的方法，前提是您的理論具有內置的最小網格尺寸。弗雷澤說：「任意小的尺度正在吸收我們對正在發生的事情的無知」。

換句話說，QED和標準模型根本無法說出零納米距離之外的電子裸電荷是什麼。它們是物理學家所謂的「有效」理論。它們在明確定義的距離範圍內效果最佳。找出當粒子變得均勻時會發生什麼是高能物理的主要目標。

從大到小

如今，費曼的「瘋癲過程」在物理學中已變得與微積分一樣普遍，其力學原理揭示了該學科某些最大成就的原因和當前的挑戰。在重正化過程中，複雜的亞微觀的跳躍往往會消失。它們可能是真實的，但不會影響全局。「簡單是一種美德，」芬德利說。 「有一個神在這。」

這種數學事實反映了自然界傾向於將自己分類為本質上獨立的世界的趨勢。工程師設計摩天大樓時，他們會忽略鋼中的單個分子。化學家分析了分子鍵，但對夸克和膠子一無所知。重正化小組量化了現象的長度劃分，這使得科學家們在過去的幾個世紀中逐漸從大到小逐漸發展起來，而不是一次分裂所有尺度。

然而，與此同時，重正化對微觀細節的敵意卻與渴望獲得下一個領域跡象的現代物理學家的努力背道而馳。天平的分離表明，他們需要深入挖掘，以克服自然界對像我們這樣的好奇巨人隱瞞其更美好點的興趣。

​「重正化有助於我們簡化問題，」新澤西州普林斯頓高級研究所的理論物理學家內森·塞伯格說。但是，「它也隱藏了短距離發生的事情。 您不能同時擁有這兩種方式。」