數學是很大的一門學科，內容也極其廣闊。本文只是挑選了一些很典型的例子和人物將數學史的內容粗敘了一遍。但因篇幅所限，不能顧及到更多的因素和細節，更多的歷史內容和人物是無法全部提及的。但是希望本文能給大家帶來一定的關於數學的認識。
高斯曾說過：「數學是科學中的皇后。」數學是非常重要的一門學科，她揭示著世間許多事物的內在規律。數學是非常美麗的，許多人都稱讚數學「就是一門藝術」。我國也曾在數學上有過不朽的成就，近代以來也有諸如陳省身、丘成桐、華羅庚、張益唐、陳景潤等一批優秀的華人數學家。數學決定著科學發展的上限，我們祖國想要更加強大，數學等基礎學科的水平就一定得提升。那麼這門發展了數千年的學科到底是怎樣的模樣？又是經歷了哪些發展？在此，本文就使用最梗概的方式粗淺地描述一下數學的歷史。
幾何是最古老的數學，最早的數學家泰勒斯（古希臘，bc624-bc547）不但引入了邏輯的概念，還研究了幾何。後來歐幾裡得寫出了曠世巨作——《幾何原本》，是最早的數學集作，同樣發展過幾何的大數學家還有阿基米德和阿波羅尼奧斯。前者對數學方法和技巧做出了卓越的貢獻；後者則寫出了另一本幾何巨作《圓錐曲線論》，這是古希臘幾何的最高峰，用純幾何的方法甚至做到了一些用解析幾何也難以解決的問題，後面一千多年內都無人能超越。
幾何原本殘卷
而同樣古老的數學還有數論，最早的數論學派是畢達哥拉斯學派，他們除了發現畢達哥拉斯定理之外，還研究了許多數字的性質，這是最早的數論。在這個時代，數論和代數幾乎沒有區別，而算術（就是計算，包括解方程）還是獨立的，甚至《幾何原本》中講述代數和算術篇幅甚至還要大於幾何。而古希臘數論和算術的最高成就，是丟番圖的《算術》。其中研究了很多方程乃至高次方程，以及一些不定方程。現代數學有一類方程就叫丟番圖方程，這類方程極其難解，條件特殊。著名的費馬大定理就是一個丟番圖方程。對這類方程方程的求解也是最早的至今都還無法完全解決的難題之一。
而古希臘沒落之後，西方數學研究幾乎中斷了千多年之久。而西方數學的再次崛起，阿拉伯人功不可沒。古希臘的數學著作在中世紀是被列為禁書的，而阿拉伯人不僅抄閱了許多古希臘著作，還因阿拉伯帝國的擴張，東方的許多數學成就都傳播到了西方。阿拉伯帝國本身學術風氣自由，湧現了許多大數學家，其中花拉子密對二次方程的研究已經達到了極致；奈綏爾丁發展了三角學；阿拉伯數學家卡西還將圓周率算到了17位，打破了祖衝之的記錄。
阿拉伯數學家花拉子密的塑像 花拉子密--阿拉伯代數之父
阿拉伯數學的發展和對著作的傳播，間接導致了西方數學的快速發展。到了文藝復興時代，人們對二次方程已經足夠了解，開始轉向對高次方程的研究。隨著三次和四次方程的通解的發現，人們對更高次方程的通解更有了興趣。期間，因為解方程所必然出現的負數的根，人們不得不將數系擴張，虛數的定義也隨之誕生。而因為工程、航海、天文觀察等對數學工具的要求的提高，人們漸漸發展了對數、三角學、微積分以及解析幾何。而隨著數學概念的增多，數學也漸漸嚴謹起來。
專門研究變化以及變化量的一門學科，被牛頓和萊布尼茲整理了瑣碎的知識，成為了微積分，並最終發展成為分析學。分析學是18世紀數學絕對的中心，當時幾乎所有的主流數學家都在研究分析學。在那時，分析學和物理聯繫極其緊密，分析本身也就是從力學中發展出來的。但是數學家不斷找尋現實世界中最本質的規律，並用數學語言表達出來，使得分析最終成為純粹的數學。而解方程的方法和過程，漸漸發展成代數學。但高次方程越來越困難，在拉格朗日對五次方程深入研究之後，人們漸漸認識到方程的規律。魯菲尼首次給出了五次方程不可解的證明（證明過程是有錯誤的），並被柯西予以一定的認可。最終在阿貝爾的絕世天才之下，人們得到了精彩而又完整的五次方程沒有通解的證明。而另一位數學天才伽羅瓦深刻地認識到方程的根的對稱性，並將這種性質提煉出群的代數結構的概念。讓人們知道為什麼五次方程及以上方程無通解，以及怎樣的方程可解。人們延承伽羅瓦的思想，更深入地研究事物的對稱性和變換，將群的思想發展。並漸漸定義了更多的群，而且還發現了更多的代數結構，如環、域、模等等。代數學就此建立。
天才而悲情的數學家——伽羅瓦
在平面的歐幾裡得幾何之後，幾何的第一個巨大發展，便是解析幾何的創建，由笛卡爾和費馬分別獨立創建。三角學將三角形中的一些固定特性數值化、可視化，而解析幾何也起到了同樣的作用，幾何的關係是固定的話，那麼便可以用定量的關係表達，解析幾何給這種表達提供了一種語言。
而之後第二次大的發展，便是射影幾何的建立，射影幾何定義了無限遠點以及空間的伸縮。射影幾何是由透視法發展而來，使人們對空間的理解進一步加深。而幾何學最大的發展，可謂是非歐幾何的發現了。由平行線公理引發的改革，不僅加深了人們對空間的理解，還讓數學家認識到公理系統的真正意義。高斯早年便認識到歐幾裡得幾何的局限，但是他並沒有公開發表他的相關數學研究。最後由俄國青年羅巴切夫斯基發表論文，將歐幾裡得第五公設改為「兩直線在同旁內角之和小於180°的那一側也不會相交」，並以此為基礎推理出另一個完整的幾何體系。看似不符合常識，但是所有推論之間並沒有任何矛盾。而且一些基本的歐式定理的結果也不再一樣——三角形的內角和小於180°、平行線在符合一定的角範圍內彼此不再相交等等。這也被稱為羅氏幾何。而另一位天才數學家黎曼改變了第五公設，即「平面內任何兩條平行線都會相交。」再以此為基礎，推導出了黎曼幾何。
羅氏幾何在雙曲面上的實現
羅氏幾何又被稱為雙曲幾何，可在雙曲面上實現，也可以說空間曲率（高斯曲率）為負；而黎曼幾何也被稱為橢圓幾何，空間曲率為正。而歐幾裡得空間的曲率就是為0的。三大幾何得到統一。
三種幾何現實模型
最後在最偉大的幾何學家之一的克萊因的工作下，射影幾何、歐式幾何、非歐幾何都被寫入了埃爾朗根綱領中，歐式幾何和非歐幾何都是射影幾何的一個特例，幾何學得到了統一。
十七到十八世紀，是分析的時代，分析學蓬勃發展。在解決函數的問題中，數學家們往往要面對函數的不同的情況，變分法由此發展而來；當先遇到一個問題的時候，往往我們只知道變化率，然而如何通過變化率來得出最後的定量（或函數），便發展出了微分方程，當變量較多的時候，便是偏微分方程。分析時代的數學發展依靠的是物理和其他學科對數學的應用，所以分析在十八世紀末進入了一個低谷期。進入十九世紀後，數學的不同分支又發生了深刻地聯繫，也發展了更多的數學。隨著黎曼幾何的誕生，變分法和幾何結合，數學家們又研究出了微分幾何。分析和代數結合，人們發現了分析的代數結構，便定義了李群。代數和幾何又一起聯繫，發展出了埃爾朗根綱領。在研究幾何的時候，人們發現有些問題或許和幾何無關，只與結構有關（交點、交線），我們可以忽視距離或者大小等量的概念。於是人們漸漸研究起這種純粹的結構的和結構變化的關係，便發展出了拓撲學。十九世紀的數學發展，幾乎超過了以前所有數學發展的總和。
一個複雜的偏微分方程，蘊涵著這個世界關於流體的奧秘
於是在十九世紀末期，為了用更好的數學語言來描述所有的數學，康託爾提出了集合論。數理邏輯的分支開始建立。數學從需要其他學科來刺激發展的時代過去了，數學擁有了自己內部的統一邏輯，完全只需要數學本身的定義和問題就可以獨立地發展數學。但是人們發現，這一座似乎可以承載所有數學分支的基石，本身並不像看起來那樣穩定、無懈可擊。很快，問題就出現了。集合論本身還具有很多缺陷，而這些缺陷導致了第三次數學危機的發生。
這麼多的分支和更多的問題，讓數學家們開始感到困惑和迷惘。於是在二十世紀初，希爾伯特提出了領導後來數學發展的二十三個問題，直接地指出當時數學界最重要的數學問題。但是數理邏輯的危機還是出現了。當這種內生性的邏輯建立起來，如果是以一塊搖搖欲墜的基石作為基底的話，那麼很難讓人相信數學的嚴謹。第三次數學危機暴露了這種問題，人們不得不用公理來限制危機。但是更無法彌補的漏洞便是哥德爾不完備定理。這直接導致了後來元數學和數理邏輯的發展走向。
偉大的數理邏輯學家——哥德爾
雖然希爾伯特的二十三個問題極具高瞻遠矚。但是他還是小看了數學在二十世紀的發展。拓撲學在二十世紀取得了空前的發展，拓撲學和分析、組合、代數結合，發展了更多的分支。人們研究代數得出了關於代數的結構，而在研究代數結構的時候，再次抽象出範疇的概念（而這是從代數拓撲、同調代數發展而來的）。而代數和幾何結合到極致，研究在任意維（包括無線維）的射影（或仿射）空間上的代數結構的分支叫代數幾何。隨著其他分支的數學工具的提升，人們便可以運用更強大的數學工具來研究數論了。所以有許多丟番圖方程在二十世紀被解決了，包括費馬大定理、莫德爾猜想等等。越來越多的數學結構被發現，又被更多的人研究。數學的知識已經越來越不能為人輕鬆掌握了（幾乎是所有學科都是如此）。
小平邦彥（1915.3.16-1997.7.26）來自日本的代數幾何、復幾何大師
而二十世紀數學的另一大類發展，便是應用數學的發展。由於人們要解決的問題越來越複雜，需要的精度也更苛刻。受限於以前的數學工具的不足，數學幾乎只能應用於物理和天文。但是隨著數學的發展，數學逐漸可以解決更多的問題，而且計算機也被發明，計算力大幅提升。於是在二十世紀，應用數學得到了極大的發展。自組織、資訊理論、博弈論、運籌論、概率論等等，在解決具體的問題中，得到的一些結論和經驗，漸漸也成為了一門新的學科。應用數學幾乎達到了和傳統數學一樣的地位，為了區分兩者，傳統數學又稱基礎數學。
克勞德·艾爾伍德·香農（1916-2001）資訊理論的創始人
數學的發展讓數學不同分支之間的聯繫越來越遠，但是數學家總是能夠發現一些數學分支之間的聯繫。就比如谷山志村猜想。為了找到這些不同數學分支之間的聯繫，現在數學界還有一個最主流的規劃，那便是朗蘭茲綱領。就像統一幾何的埃爾朗根綱領一樣，找到聯繫約化群、代數幾何和數論之間的深層次關係。
幾何朗蘭茲綱領的證明視頻
（對這個內容感興趣的朋友，可以在bilibili上看到視頻。以下是原視頻地址）
https://sites.google.com/site/geometriclanglands2014
至於數學未來的發展是如何的，我們很難想像。即便是偉大如希爾伯特，也不能預見二十世紀數學發展的全貌。二十世紀數學的發展超過了以前所有數學發展的總和，就像十九世紀的數學發展超過了之前所有數學發展的總和一樣。二十一世紀擁有更多的機會和挑戰，當然，不只是在數學上，有可能許多的學科都有更大的機會。
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