海賽(Hessian)矩陣與多元函數泰勒展開知識點總結與相關問題求解

2021-02-20 考研競賽數學

1、海賽(黑塞)矩陣

設n元函數f(X)在點X處對於自變量的各分量的二階偏導數

連續，則稱矩陣

為f(X)在點X處的二階導數或黑塞矩陣(Hessian Matrix)，也可記作

【注】矩陣H為對稱矩陣．

當n=2時，由二元函數f(x1,x2)的所有二階偏導數構成的黑塞矩陣為

由二元函數f(x1,x2)的所有二階偏導數組成．

 

2、多元泰勒公式

設f(X)是n維函數，X0∈Rn，如果f(X)在X0的某鄰域內具有二階連續偏導數，則對於點X0的某鄰域內的點X，存在常數θ(0<θ<1)，使得

稱上式為f(X)在點X0處的一階帶拉格朗日餘項的泰勒公式．

也可寫作

如果假定函數f(X)在X0處可微，則有

以上兩式分別稱為f(X)在X0處的帶皮亞諾餘項的一階及二階泰勒公式．它們分別表明了在一定條件下，函數f(X)可以用線性函數和二次函數來近似．

【注】當n=1時，它們形式上與一元函數的泰勒公式相同．以上可以推廣到多元函數的n階泰勒公式。

       以二元函數為例，給出更具體的描述形式！

3、二元函數的n階泰勒公式展開

設z=f(x,y)在點(x0,y0)的某一鄰域內連續且有直到n+1階的連續偏導數,(x,y)為此鄰域內任一點，記h=△x =x-x0,k=△y =x-y0，則有

其中

這個公式稱為二元函數f(x,y)在點(x0,y0)的n階帶拉格朗日餘項的泰勒公式；當(x0,y0)=(0,0)時為麥克勞林公式。

具體應用例子請參見課件中的例子。

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