微分、微分中值定理、泰勒公式

2021-01-14 Miss黑莓

問對問題，找對方法，做對的事~           

黑莓 2020/10/09  





溫習


 




 微分 



詳見 微分

定義

QA函數y=f(x)在x點處的微分是指什麼？

①指因變量增量△y關於自變量增量△x的線性主部  

②記作 dy或df(x)   dy=df(x)=f'(x)dx=y'dx  

③微分dy是因變量增量△y的近似值  

④也可以說函數的微分等於函數的導數乘以自變量的微分。

微分的幾何意義是？詳見👉微分可微與可導的關係是什麼？dy=f'(x)dx 等價於 y'=f '(x)怎麼求微分呢？

你以為需要先求y'或f'(x)，再求得dy=f'(x)dx 嗎？

不用那樣的。我們可以直接求微分。

詳見👇




和差積商法則與常用公式



 微分中值定理 


羅爾定理👇


拉格朗日中值定理




 泰勒公式 


直線部分為函數在點x0處的切線方程，將f(x0)移到等號右邊後……


①從幾何的角度，

現在是以直線來代替曲線，

那我們是否可以用曲線來代替曲線呢？

它的近似度是否會更好一些呢？


②從分析的角度，

我們想知道：O（x-x0）有多大？到底是什麼結構？

這就是泰勒公式要討論的問題。

👇


QA帶有皮亞諾餘項的泰勒公式是指？

若f(x)在x0處有n階導數，那麼存在x0的一個鄰域，對於該鄰域內的任一x，有f（x）=……


此式叫做函數f(x)在點x0處的帶有皮亞諾餘項的n階泰勒公式。

帶有皮亞諾餘項的麥克勞林公式又是指什麼呀？【特殊】當x0=0時，所得的式子叫做帶有皮亞諾餘項的麥克勞林公式。求f(x)=e^x在x=0處的Taylor展開式【提示】y=e^x的n階導數都為e^x求f(x)=sin x在x=0處的Taylor展開式【提示】正弦函數是奇函數，其展開式仍然能顯示該特徵。求f(x)=cos x在x=0處的Taylor展開式【提示】餘弦函數是偶函數，其展開式仍然能顯示該特徵。帶有拉格朗日餘項的泰勒公式是？
帶有拉格朗日餘項的麥克勞林公式又是什麼呢？


不妨拿O（x-x0）與（x-x0）^2作比較。

為什麼拿它來比較呢？👇


因為比一次方已經沒有意義了，

我們已經知道它→0：

當x→ x0，O（x-x0）/（x-x0）→0


j=0時，我們約定：

f(x0)的0階就是不求導的意思

0的階乘為1。

函數在x0點可以寫成：

多項式+皮亞諾餘項



很多時候，我們是在x=0點展開。

因為什麼呢？

一個函數在x=0點展開，

與在x=x0點展開，

僅僅就是展開式的一個平移。


特殊泰勒👇


 泰勒公式-應用 


QA泰勒公式的應用有哪些呢？近似計算、估計誤差、求函數極限……例子↓比起用洛必達法則求極限，用泰勒公式計算極限有何優勢？直接、一次性

近似計算、誤差👇



用於求極限👇



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