大家好，我是專升本數學學霸，這次來談論微分中值定理、洛必達法則、泰勒公式和數的單調性和凹凸性這些內容。那你知道微分中值定理、洛必達法則、泰勒公式這些內容呢?沒關係！學霸來幫你來了。
一、微分中值定理
1.羅爾定理
①（費馬引理）設函數f(x)在點x0的某領域U(x0)內有定義，並且在 x0處可導，如果對任意的x∈U(x0)，有
（ 或
）
那麼f'(x0)=0。
②羅爾定理 如果函數f(x)滿足
（1）在閉區間[a,b]上連續；
（2）在（a,b）內可導；
（3）在區間端點處函數值相等，即f(a)=f(b),
那麼在(a,b)內至少有一點ξ(a<ξ<b),使得 f'(ξ)=0
2.拉格朗日中值定理
①拉格朗日中值定理 如果函數f(x)滿足
A. 在閉區間[a, b]上連續；
B. 在（a, b）內可導；
那麼在（a, b）內至少有一點ξ（a<ξ<b）,使等式
f(a)-f(b)=f'(ξ)(b-a)
成立
②定理:
如果函數f(x)在區間I上連續，I內可導且導數恆為零，那麼f(x)在區間I上是一個常數。
3.柯西中值定理
如果函數f(x)及F(x)滿足
（1）在閉區間[a, b]上連續；
（2） 在（a, b）內可導；
（3）對任一 x∈(a,b)，F'(x)≠0，
那麼在(a,b)內至少有一點ξ，使等式
成立。
二、洛必達法則
定理：（1）當 x→a時，函數f(x)及F(x)都趨近於零；（2）在點a的謀去心領域內，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0； （3）
存在（或為無窮大）。則
2.定理：
（1）當 x→∞時，函數f(x)及F(x)都趨近於零；
（2）當|x|>N，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；
(3)
存在（或為無窮大），則
三、泰勒公式
中值定理1：如果函數f(x)在x0處具有n階導數，那麼存在x0的一個鄰域，對於該鄰域內的任一x,有
2.中值定理2：
如果函數f(x)在x0的某一個鄰域U(x0)內具有（n+1）階導數，那麼對任一x屬於U(x0)，對於該鄰域內的任一x,有
其中2
四、函數的單調性
定理：設函數y=f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)內可導。
（1）如果在(a,b)內f'(x)≥0，且等號僅在有限多個點處成立，那麼函數y=f(x)在[a,b]上單調增加。
（2）如果在(a,b)內f'(x)≤0，且等號僅在有限多個點處成立，那麼函數y=f(x)在[a,b]上單調減少。
五、曲線的凹凸性與拐點
定義：設f(x)在區間I上連續，如果對I上任意兩點x1,x2恆有
那麼稱f(x)在I上的圖形是向上凹的（或凹弧）；
如果有
那麼稱f(x)在I上的圖形是向上凸的（或凸弧）。
定理：設f(x)在[a,b]上連續，在（a,b）內具有一階導數和二階導數，那麼
（1）若在（a,b）內f ''(x)>0,則f(x)在[a,b]上的圖像是凹的；
（2）若在（a,b）內f ''(x)<0,則f(x)在[a,b]上的圖像是凸的；
六、求拐點的步驟：
求一階導數 f'(x)和二階導數 f''(x)。令f''(x)=0,解出方程在區間I內的實根，並求出在區間I內f''(x)不存在的點。 3.對於 2 中求出的每一個實根或二階導數不存在的點x0，檢查f''(x)在x0左右兩側的鄰近的符號，那麼當兩側的符號相反是，點（x0,f(x0)）是拐點，當兩側的符號相同時，點（x0,f(x0)）不是拐點。
以上內容個人總結的內容，純屬個人的觀點，不代表官方的觀點。今天的內容到此為止，下次我們接續討論導數的應用：討論極值、最值、曲率和方程的近似解。最後，喜歡這篇內容的朋友請點擊收藏。歡迎大家在評論區評論。請關注我，我會不斷發布有關專升本數學考試文章或視頻。謝謝支持！希望能幫助你考上專升本。