數學分析原理【知識點整理】【微分的連續性、洛必達、高階導數、泰勒定理、向量函數的微分】

The Continuity of Derivatives [微分的連續性]
Theorem [微分的介值性] (5.12)

Suppose

A similar result holds of course if

Proof. Put

Hence,

（簡述）Let

Since

Corollary (5.12)

If

L'Hospital's Rule [洛必達法則]

這是個非常常用的定理，但本書上證明過於複雜（考慮了很多邊緣條件），所以不採用這裡的證明，而是從 wiki 摘錄過來。

Theorem [洛必達法則] (5.13)

Suppose

If

or if

then

Proof.

(

Then for any

By 【Theorem 5.9 柯西中值定理】, we have

for some

Then, for

That means

This complete the proof.

(

Derivatives of Higher Order [高階微分]Def. [高階微分] (5.14)

If

each of which is the derivative of the preceding one.

In order for

Taylor's Theorem [泰勒定理]Theorem [泰勒定理] (5.15)

Suppose

Then there exists a point

For

Note. 之前在知乎有過相關證明，連結：https://www.zhihu.com/question/433825995/answer/1616133506

該證明方法和我之前知乎上給的略有不同，所以還是再貼一遍書上的嚴格證明。

Proof. Let

and put

We have to show that

Hence the proof will be complete if we can show that

Since

Our choice of

After

Differentiation of Vector-Valued Functions [向量函數的微分]Remark. [向量函數的可微性] (5.16)

For complex functions, 【Def. 5.1】 applies without any change to complex functions

If

for

also,

Note. 對於更一般的情況，我們通過定義距離函數（範數/模）來驗證可微分性質。對於超出二維的情況，乘法未作定義，但內積可以運行。

Theorem [向量函數的微分中值定理] (5.19)

Suppose

Note. 注意！這裡不是等式，而是不等式，其中函數差值小於自變量差值乘以其內微分。（老師曰：有所取必有所失，為了尋求更高維的微分中值定理，不得不放開「等於」性質）

Proof. （這個定理的證明是俄國人 V.P.Havin 在其翻譯本書第二版時更替的證明方法，後來本書作者 Rudin 覺得好，於是就在第三版將原來的證明方法改為了這個，並著名於頁內腳註。這個證明的精髓就在於將向量值函數轉為實值函數進行處理，方便易用）Put

Then

for some

On the other hand,

The Schwarz inequality (柯西不等式) now gives

Hence

【小亦 2020-12-28 16:57】於深圳