微分中值定理與泰勒公式(2)

2021-01-11 網易教育

五. 設f(x)在[a, b]上可導, 且ab > 0, 試證: 存在一個x Î (a, b), 使

         

證明: 不妨假設a > 0, b > 0. 令 . 在[a, b]上使用拉格朗日定理

     

六. 設函數f(x), g(x), h(x)在[a, b]上連續, 在(a, b)內可導, 證明:存在一個x Î (a, b), 使

           

證明: 令 , 則F(a) = F(b) = 0, 所以存在一個x Î (a, b), 使

           

七. 設函數f(x)在[0, 1]上二階可導, 且f(0) = f(1) = 0, 試證: 至少存在一個x Î (0, 1), 使

            

證明: ( , 二邊積分可得 , 所以 )

令 . 由f(0) = f(1) = 0知存在h Î (0, 1), . 所以F(h) = F(1) = 0, 所以存在 x Î (h, 1), . 立即可得

八. 設f(x)在[x1, x2]上二階可導, 且0 < x1 < x2, 證明:在(x1, x2)內至少存在一個x, 使

            

證明: 令 , 在[x1, x2]上使用柯西定理. 在(x1, x2)內至少存在一個x, 滿足

              .　

責任編輯:歪歪

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