2016考研數學:中值定理證明題答題技巧分析

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　　在考研數學中，有關中值定理的證明題型是一個重要考點，也是一個讓很多同學感到比較困惑的考點，不少同學在讀完題目後不知從何下手，不會分析證明，找不到思路，之所以會出現這樣的情況，主要是因為這些同學對中值定理證明題型的特點缺乏清晰的認識，對其分析和證明方法沒有完全理解和掌握，為了協助這樣的同學克服這方面的困難，下面本文對這類題的特點和證明方法做些分析總結，供各位考生參考。
　　一、中值定理證明題的特點
　　中值定理證明題主要有以下一些特點：
　　1.中值定理證明題常常需要作輔助函數；
　　2.中值定理證明題經常在一個題中需要結合運用三個知識點，分別是：連續函數在閉區間上的性質（包括最大值和最小值定理、零點定理和介質定理），微分中值定理和積分中值定理；
　　3.中值定理證明題可能需要在一個問題的證明中反覆運用同一個微分中值定理兩次甚至三次，比如羅爾中值定理或拉格朗日中值定理；
　　4.從歷年考研數學真題變化規律來看，證明中用得最多的主要是羅爾中值定理和拉格朗日中值定理，而泰勒中值定理和柯西中值定理則用得很少。
　　二、中值定理證明題的常用方法
　　中值定理證明題有不同的類型，對不同的類型需要運用不同的方法，主要的和常用的方法包括以下幾種：
　　1.如果題目條件中出現關於函數值的等式，而函數是連續的，則可能需要運用連續函數在閉區間上的性質進行證明；對導數是連續的情況也可以對導函數運用連續函數的性質；
　　2.如果題目條件中出現關於定積分的等式，則可能需要運用積分中值定理；
　　3.對於以下這類問題一般使用羅爾中值定理進行證明：
　　6、如果是要證明兩函數差值比的中值等式，或證明兩函數導數比的中值等式，則可能需要利用柯西中值定理進行證明。
　　對於上面總結介紹的各種證明方法，在實際問題中要根據具體情況靈活運用，另外，對於需要作輔助函數的證明題，常常通過還原法分析找出需要的輔助函數，對於含積分等式的證明題，常常需要作變積分限的函數作為輔助函數，這種方法也是證明積分等式或不等式的主要方法之一，這些分析總結希望對大家提高中值定理證明題的解題能力有所幫助。最後預祝各位考研成功、金榜題名！

（實習編輯：劉佰萬）

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