一二三,搞定中值定理老大難_複習經驗_考研幫(kaoyan.com)

摘要：每年考研數學必有一道證明題，分值在10分左右，其中百分之九十涉及到的是微分中值定理及其應用。與此同時，中值定理也是大部分考研學子難

　　摘要：每年考研數學必有一道證明題，分值在10分左右，其中百分之九十涉及到的是微分中值定理及其應用。與此同時，中值定理也是大部分考研學子難以攻克的一環，我們希望這篇文章能夠對你有所幫助。

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　　微分中值定理及其應用最難的是三個微分中值定理：羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。它們是考研數學的重難點，現分別從涉及的知識點、考查方式、方法選擇、真題連結等四個方面進行分析。

　　一、涉及的知識點及考查形式
　　可涉及微分中值定理及其應用的知識點有，微分中值定理，洛必達法則，函數單調性的判別，函數的極值，函數圖形的凹凸性、拐點及漸近線，函數圖形的描繪，函數的最大值與最小值，弧微分(數一、數二要求)，曲率的概念(數一、數二要求)，曲率圓與曲率半徑(數一、數二要求)。
　　微分中值定理以間接考查或與其他知識點綜合出題的比重很大，也可以直接出題，所以考查形式有多種。如利用導數的幾何意義考查函數的特性，討論導數零點存在性或方程根個數問題，不等式的證明，證明含中值的等式，求極限等。

　　二、方法選擇
　　題目考查微分中值定理，那麼選擇哪一中值定理成為解題的關鍵。
　　針對題目的特點，可根據如下情況選擇對應的微分中值定理：如果結論不包含端點，優先考慮羅爾定理；如果結論中包含端點，則考慮拉格朗日中值定理或柯西定理。那麼選擇拉式還是柯西定理，需要對結論做進一步的處理，化為定理的標準形式。如第一個標準，左邊是只含端點，右邊只含中值；第二個標準，左邊進一步處理，分子分母減號，一側只含右端點，一側只含左端點。整理後，如果分母是端點相減，則選擇拉格朗日定理；否則，選擇柯西定理。

　　三、求解步驟及歷年真題解析
　　涉及到微分中值定理，一般首先要找輔導函數。針對拉式中值定理和柯西定理，經過對要證明的結論化為標準形式，可直接得出輔助函數。而羅爾定理，需要把結論化為微分方程的一般形式，使用積分因子法可找到。
　　有了輔助函數，根據中值定理，列出定理對應的三個條件，得出結論。

　　四、小結
　　三個微分中值定理(條件與結論)的理解及其區別是複習的要點，而方法的選擇是解題的關鍵。三個微分中值定理(條件與結論)的理解及其區別理解透了，才能正確使用方法進行求解。知識點的理解一定要結合一定量的習題才能真正掌握知識點，並應用於考研。

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