破解考研數學重災區:中值定理證明思路小結

　　還有不到40天就到了2016考研初試的時間了，為了讓學生能夠更好地應對考研，本文將討論一下中值定理這塊的相應證明題的一般解題思路。

　　中值定理這塊一直都是很多考生的"災難區"，一直沒有弄清楚看到一個題目到底怎麼思考處理，因此也是考研得分比較低的一塊內容，如果考生能把中值定理的證明題拿下，那麼我們就會比其他沒做上的同學要高一個臺階，也可以說這是一套"拉仇恨"的題目。下面跨考教育數學教研室佟老師就和大家來一起分析一下這塊內容。

　　一、具體考點分析

　　首先我們必須弄清楚這塊證明需要的理論基礎是什麼，相當於我們的工具，那需要哪些工具呢?

　　第一：閉區間連續函數的性質。

　　最值定理：閉區間連續函數的必有最大值和最小值。

　　推論：有界性(閉區間連續函數必有界)。

　　介值定理：閉區間連續函數在最大值和最小值之間中任意一個數，都可以在區間上找到一點，使得這一點的函數值與之相對應。

　　零點定理：閉區間連續函數，區間端點函數值符號相異，則區間內必有一點函數值為零。

　　第二：微分中值定理(一個引理，三個定理)

　　費馬引理：函數f(x)在點ξ的某鄰域U(ξ)內有定義，並且在ξ處可導，如果對於任意的x∈U(ξ)，都有f(x)≤f(ξ) (或f(x)≥f(ξ) )，那麼f'(ξ)=0。

　　羅爾定理：如果函數f(x)滿足：

　　(1)在閉區間[a,b]上連續;

　　(2)在開區間(a,b)內可導;

　　在區間端點處的函數值相等，即f(a)=f(b 

 

　　那麼在(a,b)內至少有一點ξ(a<ξ，使得 f?(ξ)="0.

　　幾何上，羅爾定理的條件表示，曲線弧 (方程為 )是一條連續的曲線弧 ，除端點外處處有不垂直於x軸的切線，且兩端點的縱坐標相等。而定理結論表明：

　　弧上至少有一點 ，曲線在該點切線是水平的。

　　拉格朗日中值定理：如果函數f(x)滿足：

　　(1)在閉區間[a,b]上連續;

　　(2)在開區間(a,b)內可導;

　　在區間端點處的函數值相等，即f(a)=f(b)，

　　那麼在(a,b)內至少有一點ξ(a<ξ<B，使得 f?(ξ)="0.

　　柯西中值定理：如果函數f(x)及F(x)滿足

　　(1)在閉區間[a,b]上連續;

　　(2)在開區間(a,b)內可導;

　　(3)對任一x∈(a,b)，F'(x)≠0

　　那麼在(a,b) 內至少有一點ξ，使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)成立。