約瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736~1813）全名為約瑟夫·路易斯·拉格朗日，法國著名數學家、物理學家。他在數學、力學和天文學三個學科領域中都有歷史性的貢獻，其中尤以數學方面的成就最為突出。
一、拉格朗日中值定理
通常形式：
條件：
(1) f(x)在[a,b]上連續；
(2) f(x)在(a,b)內可導；
結論：
至少存在一點ξ∈(a,b)，使得
或者存在θ∈(0,1)，使得
即ξ=a+θ(b-a).
有限增量形式：
如果y=f(x)在x的鄰域內可導，x+△x也屬於該鄰域，則存在θ∈(0,1)，使得
如果f(x)在(a,b)內可導，x，x0∈(a,b)，則在x和x0之間至少存在一點ξ，或存在θ∈(0,1)，使得
【注】：拉格朗日中值定理架起了函數值、導數值和自變量的取值之間的橋梁.
推論：如果f(x)在(a,b)內恆有f』(x)=0，則在(a,b)內f(x)恆為常數.
二、使用拉格朗日中值定理求解題型分析
如果需要驗證的等式或者不等式關係式中，或者題幹的已知條件中，包含有函數值、一階導數值（最多兩階導數）和自變量，或自變量的取值，尤其是包含一個區間兩個端點的函數值、端點變量值和區間內的導數值的問題，可以考慮使用拉格朗日中值定理來解決.
【注】：對於只有一個中值的等式命題的證明，如果可以使用拉格朗日中值定理來證明，則一般可以使用羅爾定理來證明，因為拉格朗日中值定理的結論是基於羅爾定理推導得到的結果.
三、使用拉格朗日中值定理的解題思路與步驟
(1)確定問題類型：條件或結論中包含有函數值、導數值，自變量的取值，尤其是包含有兩個函數值的差結構，驗證的結論為與之相關的量的等式或不等式.
(2)構建輔助函數：根據已知條件或結論，尋找端點構造閉區間，並通過轉換等式或不等式描述形式，使得式子中出現端點函數值的差與自變量差的描述形式，並尋找與之相關的函數的導數，通過函數值構造輔助函數；或者根據結論或者條件中所有的函數或者不等式，通過移項，使其一端為零構造輔助函數.
(3)驗證定理得出結論：結合構造的輔助函數，將題幹中的各種已知儘可能地用數學表達式描述，然後將所有已知的各類數學表達式進行各種可能的推導、變換，得其儘可能多不同描述形式，組合各種得到的數學描述形式，對構造的輔助函數驗證滿足定理的條件，並推導、變形得到最終需要的結論.
四、例題分析
例1 設奇函數f(x)在[-1,1]上具有2階導數，且f(1)=1. 證明：
(I) 存在ξ∈(0,1)，使得f』(ξ)=1.
(II) 存在η∈(-1,1)，使得f』』(η)+f』(η)=1.
【分析】對於這個考題比較簡單，根據已知條件有非常直觀的一些結果.
由「奇函數f(x)在[-1,1]上具有2階導數」可得
(1) f(-x)=-f(x)；
(2) f(x)的導函數f』(x)為偶函數；
(3) f(x)在[-1,1]上連續，可得f(0)=0；
(4)由已知「f(1)=1」和(3)，由於有兩個點的函數值，並且函數f(x)在[0,1]上連續，在(0,1)上可導，所以由拉格朗日中值定理，存在ξ∈(0,1)，使得
f(1)-f(0)=1=f』(ξ)(1-0)=f』(ξ).
即需要證明的結論(I)成立.
【注】：這個結論也可以由羅爾定理得到，即令
F(x)=f(x)-x，
則有F(0)=f(0)-0=F(1)=f(1)-1=0，所以由羅爾定理，存在ξ∈(0,1)，使得F』(ξ)= f』(ξ)-1=0，即f』(ξ)=1.
(5) 由(2)可得f』(-ξ) -1= f』(ξ)-1=0，如果令ξ=x，則f』(x)-1有兩個位置函數值相等並且等於0，並且它的導數就為f』』(x)，正好為第二個要證結論的第一項，而對結論(II)全部移項到左邊f''(η)+f'(η)-1=0，發現正好f』(x)-1不求導數即為剩餘的兩項，由此，我們想到求導數不變，並且不會增加導數零點的函數ex，於是令
F(x)=( f』(x)-1) ex，
則容易得到函數F(x)在[-ξ, ξ](因為ξ∈(0,1))構成的區間上滿足羅爾定理的三個條件，從而有F』(η)=0成立，即存在η∈(-ξ,ξ)⊂(-1,1)，使得
f』』(η)+f』(η)=1
成立.
【解題步驟】(I)由題意，有f(0)=0，所以對於區間[0,1]，f(x)連續，在開區間(0,1)上可導，則由拉格朗日中值定理及f(1)=1知，存在ξ∈(0,1)，使得
f(1)-f(0)=1=f』(ξ)(1-0)=f』(ξ)，即f』(ξ)=1.
(II) 令F(x)=( f』(x)-1) ex，則由於f(x)為奇函數，所以f』(x)為偶函數，從而有
f』(ξ)-1=f』(-ξ)-1=0.
由於[-ξ, ξ]⊂(-1,1)，所以F(x)在[-ξ, ξ]連續，在(-ξ, ξ) 上可導，並且有
F(-ξ)=(f』(ξ)-1)eξ=0=(f』(-ξ)-1)e-ξ=F(ξ)；
所以由羅爾定理可得，存在η∈(-ξ,ξ)⊂(-1,1)，使得
f』』(η)+f』(η)=1
成立.
例2 設不恆為常數的函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，在開區間(a,b)上可導，且f(a)=f(b)，證明：在(a,b)內至少存在一點ξ，使得f』(ξ)>0.
【理論依據分析】對於中值不等式不能使用羅爾定理證明，同樣也不能使用柯西中值定理證明，一般使用拉格朗日中值定理或泰勒中值定理證明，而0階泰勒中值定理即為拉格朗日中值定理，這裡只有一階導數，所以即使用拉格朗日中值定理證明.
【解題過程分析】直接由已知條件，設函數在(a,b)內某點c的函數值不等於端點的函數值，比如設f(c)>f(a)=f(b)，則在區間[a,c]、[c,b]上f(x)連續，在(a,c)，(c,b)上可導，並且有
同樣，如果f(c)<f(a)=f(b)，則有
即無論哪種情況，都有結論成立.
【注】以上兩個考題，都可以直接通過分析、變換，融合已知條件及其推導得到的結論可以直接得到結論，並且輔助函數也在推導、變換過程中大致可以推導探索獲得.
例3 設函數f(x)在[0,1]上具有二階導數，且滿足
f(0)=0,f(1)=1,f(1/2)>1/4.
證明：(1)至少存在一點ξ∈(0,1)，使得f』』(ξ)<2；
(2)若對一切x∈(0,1)，有f』』(x)≠2，則當x∈(0,1)時，恆有f(x)>x2.
【理論依據與方法分析】本題中包含有三個點的函數值，另外要考慮函數的導數值，根據羅爾定理應用中的分析，三個函數值相等可以得到一個二階導數值等於0的結論，因此，三個函數值相關的結論已知，兩兩個點也可以各自得到一個拉格朗日中值定理的結論，對於一階導數值的結論再可以使用拉格朗日中值定理，得到二階導數的結論. 另外，這裡需要驗證的是不等式結論，一般一階不等式的中值命題首先考慮的理論依據也為拉格朗日中值定理. 而對於所有、一切、恆成立等的相關的結論，一般考慮反證法來驗證.
【解題思路分析】使用中值定理驗證問題關鍵就是構造輔助函數，輔助函數的構造可以從已知條件出發，更多的時候是從需要驗證的結論出發. 通過分析結論發現：將兩個結論中的數學式移項，分別為
f』』(ξ)-2<0，f(x)-x2>0.
發現第一個式子正好是第二個式子左邊的二階導數，於是考慮設輔助函數為
F(x)=f(x)-x2.
由此可知，
F(0)=0,F(1)=0,
F(1/2)=f(1/2-1/4>0,
並且函數F(x)在[0,1]上有二階導數，從而函數、一階都符合拉格朗日中值定理的條件，於是嘗試性的對F(x)對出現的三個點應用拉格朗日中值定理，可得存在點
a∈(0,1/2)，b∈(1/2,1)(b>a)，
使得
在區間[a,b]上對F』(x)應用拉格朗日中值定理：存在ξ∈(a,b)，使得
即存在ξ∈(a,b)⊂(0,1)，使得
f』』(ξ)-2<0，即f』』(ξ)<2.
這樣就得到了結論(I)的結論.
對於第二問：反證法，則假設存在一點c，使得f(c)≤c2，即F(c)=f(c)-c2≤0.
(1) 如果F(c)=0，則由F(c)=F(0)=F(1)=0，應用兩次羅爾定理，可知存在一點ξ，使得F』』(ξ)=0，即f』』(ξ)=2，從而與結論(II)中的條件f』』(x)≠2矛盾.
(2) 如果F(c)<0，則F(c)F(1/2)<0，由零值定理可得，在c與1/2之間存在d，使得F(d)=0，所以由
F(d) =F(0) =F(1)=0，
應用兩次羅爾定理得出與已知條件矛盾. 所以由(1)(2)可知，假設不成立. 這樣也就驗證了結論(II).
【解題過程】令F(x)=f(x)-x2，由已知條件可得
F(0)=0,F(1)=0,
F(1/2)=f(1/2)-1/4>0,
(I)由拉格朗日微分中值定理，存在點a∈(0,1/2)，b∈(1/2,1)(b>a)，使得
在區間[a,b]上對F』(x)應用拉格朗日中值定理：存在ξ∈(a,b)，使得
即存在ξ∈(a,b)⊂(0,1)，使得
f』』(ξ)-2<0，即f』』(ξ)<2.
(II)反證法，則假設存在一點c，使得f(c)≤c2，即F(c)=f(c)-c2≤0.
(1) 如果F(c)=0，則由F(c)=F(0)=F(1)=0，應用兩次羅爾定理，可知存在一點ξ，使得F』』(ξ)=0，即f』』(ξ)=2，從而與結論(II)中的條件f』』(x)≠2矛盾.
(2) 如果F(c)<0，則F(c)F(1/2)<0，由零值定理可得，在c與1/2之間存在d，使得F(d)=0，所以由F(d)=F(0)=F(1)=0，應用兩次羅爾定理得出與已知條件矛盾. 所以由(1)(2)可知，假設不成立. 即當對一切x∈(0,1)，f』』(x)≠2時，恆有f(x)>x2.