一、柯西中值定理
柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣，是微分學的基本定理之一。其幾何意義為，用參數方程表示的曲線上至少有一點，它的切線平行於兩端點所在的弦。該定理可以視作在參數方程下拉格朗日中值定理的表達形式。
【注1】：公式右邊分子、分母的ξ為同一個值，結論中的公式不能看成是兩個函數應用拉格朗日中值定理相比得到的結果，因為對於兩個函數應用拉格朗日中值定理對應的中值位置變量取值不一定相同.
【注2】：在柯西中值定理中，若取g(x)=x時，則其結論形式和拉格朗日中值定理的結論形式相同. 因此，拉格朗日中值定理為柯西中值定理的一個特例；反之，柯西中值定理可看作是拉格朗日中值定理的推廣.
二、使用柯西中值定理證明的題型分析
(1)如果中值等式中不含ξ的部分可以表示成兩個不同函數在兩點的函數值的差的比值，即
右邊也正好可以寫成這樣兩個函數在同一個中值點的導數的比值，則對於這類問題可以考慮使用柯西中值定理來推導驗證.
(2)問題研究的是兩個不同函數在兩點函數值差的比值，或者可以轉換為這種形式的問題，則可以考慮使用柯西中值定理來探索問題的解法.
【注】：同樣，由於柯西中值定理由羅爾定理證明，所以一般能夠用柯西中值定理證明的中值等式，都可以考慮羅爾定理來證明. 但是如果是用柯西中值定理的結論來推導、驗證的某些結論，則無法使用羅爾定理來替換，比如洛必達法則結論的推導.
(3) 柯西中值定理也可以用來驗證不等式. 可以參見課件中的練習.
三、洛必達法則及其應用條件
1、洛必達法則適用的極限類型
無窮小比上無窮小，或無窮大比上無窮大的未定型，或者可以轉換為這兩種類型極限的計算問題.
2、應用條件與結論
一定要注意極限的類型判定、可導性的判定和導數描述的極限的存在性的判定. 洛必達法則中極限變量的變化過程適用於六種變化過程，數列的極限考慮洛必達法則一定要先轉換為函數描述形式，得到結論後基於海涅定理可以直接寫出數列極限結果.
四、Stolz公式
作為數列的「洛必達法則」，stolz定理並沒有包含在通常的高等數學教材中。特別注意，雖然 Stolz公式中的極限可以為+∞或 -∞，但它不可以為同時趨於正負∞！
例如： , ，則
實際應用中， Stolz 公式主要用第一種形式， 「 零比零 」 類型的施篤茲定理應用很少 .
【注】課件中的例題的解題思路與過程僅僅說明如何應用Stolz定理解題，並不一定是相應問題最適合的解題思路！而且一般Stolz定理的內容屬於數學分析課程的內容，在高等數學、微積分等課程學習中不做要求！當然，在明確定理名稱，尤其是寫出定理內容的情況下，在高等數學、微積分相關學習內容的檢測中，沒有指明必須使用某個知識點解題的情況下，也可以應用該定理作為依據來求解問題！一般有明確名稱的結論都可以這樣使用.
關於這些內容的更詳細討論，尤其是洛必達法則應用的原則，可以參見「第三屆全國大學數學競賽初賽真題解析」在線課堂，點擊本文左下角「閱讀原文」可以直達. 更多典型例題、題型討論，也可以參見如下專題：
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參考課件
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