遞推數列存在極限的證明與極限值求解思路與典型題分析(三)——拉鏈定理

2021-02-18 考研競賽數學

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拉鏈定理：數列

繼續以遞推數列存在極限的證明與極限值思路與典型題分析(三)——夾逼定理（定義法）中的例題為例，分析基於拉鏈定理的遞推數列極限存在性證明思路與步驟：

例：驗證數列

逼近方程

【分析】通過分析它的前幾項的值：

發現數列的前5項的大小關係為

因此，無法判定它們的單調性. 但有界性容易得到，即有

其實，這個例題也可以藉助單調有界原理來進行證明。雖然該數列整體上不具有單調性，但是通過觀察發現，它的奇數項構成的子數列和偶數項構成的子數列具有可能的單調性。那麼，這個結論是不是成立，我們可以驗證一下：

首先，藉助於數列的遞推關係式，可得兩數列的描述形式有：

藉助於遞推關係式，可得

所以由數學歸納法可得數列單調遞減，又由於有界，所以極限存在。從而有

藉助於遞推關係式，可得

所以由數學歸納法可得數列單調遞增，又由於有界，所以極限存在。從而有

由於拉鏈定理，可得原數列極限存在，並且就等於它們的極限值。並且這個極限值就為方程

【注1】：這個證明過程與出現的數列的項的值，正好與我們在有些參考書上看到的，驗證由斐波那契數列的項

數列

【注2】：這樣的數列的一個特徵是間隔一項具有單調性：如

【注3】：斐波那契數列是由如下遞推公式確定的數列：

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