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今天老梁繼續給大家推送《考研數學真題分類解析系列》第六期，精選了一道拉格朗日中值定理的中值極限問題。
真題及解析
【例006】（2001數1）
【證明】
（I）由拉格朗日中值定理，
下面證明θ的唯一性。導數方程根的唯一性的證明一般有兩種方法：函數單調法和羅爾定理法。
【評註1】（I）問的證法二並沒有利用到二階導數「連續」的條件。
（II）證法一：由（I）問，有
【評註2】本法證明也沒有用到二階導數連續條件。
證法二：由拉格朗日中值定理，
由（I）問，
又由泰勒中值定理，
結合（*）和（**）兩個式子，有
【評註3】本法證明中用到了二階導數連續這個條件。
證法三：根據麥克勞林公式，
故由（I）問，
【評註4】本法證明也沒有用到二階導數連續條件。
總結
從本題第（I）問的證法二中和第（II）問的證法一、三中都可以看出，本題的條件「二階導數連續」可減弱為「二階可導」；一般來說，皮亞諾型餘項的泰勒公式條件弱於拉格朗日型餘項的泰勒中值定理的條件；在對函數在某個區間上（整體）考慮問題時，一般使用拉格朗日型餘項的泰勒中值定理，而在求極限、極值點與拐點判定等局部問題中，用皮亞諾型餘項的泰勒公式（麥克勞林）可能更簡單，方便一些。
方法總結 歸納題型
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