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遞推數列極限存在的證明及計算是考研數學的一個重要考點，同時也是難點。在歷年考研數學真題中，常常是高等數學部分中的壓軸題，很少有同學能夠全身而退！
老梁考研數學計劃通過幾篇文章對遞推數列極限存在證明與計算的方法做一詳細講解，幫助同學們突破難點，掌握方法，順利地解決考研數學的這類題型。
考研數學對遞推數列極限存在性證明方法的考查主要是「單調有界原理」。在極限存在證明中主要要做兩件事：一是證明數列的單調性，二是證明數列的有界性。
本篇重點介紹證明遞推數列極限存的單調有界原理之有界性證明的思路和方法。
數列的有界性與單調性定義
數列的有界性定義
數列的單調性定義
數列極限存在的單調有界原理
單調增加有上界的數列存在極限；單調減少有下界的數列存在極限。【評註1】
由數列單調有界原理可知，如果某數列的單調性已知，那麼，要證明該數列有極限，只需證明它有上界或有下界就行了。
遞推數列
遞推數列有界性證明
不論是數列的有界性證明，還是單調性證明，本質上都是數列不等式證明（當然也是函數不等式）。因此在遞推數列的有界性和單調性的證明中常用知識點有：數學歸納法，常用不等式（三角不等式，基本不等式等），常用的函數不等式及函數不等式證明方法。
一般來說，有界性證明的思路是先利用猜測法估計出或利用極限法求出數列的上界或下界，然後再利用上述方法證明猜測的合理性。下面通過例題來說明如何利用上述方法證明遞推數列的有界性。
【分析】本題中，數列的非負性容易猜測和證明，因此主要證明數列有上界，可以採用猜測法和極限法。
【評註2】
結語
在歷年考研數學中，利用單調有界原理來證明數列極限的存在是重點考查的題型之一。其中，有界性的證明是非常關鍵的一步，常常在單調性的證明之前，也就是說，單調性的證明有時需要有界性這個條件。
對於遞推數列的有界性證明，常常採取先用猜測法和極限法取獲取數列的上界或者下界，然後在證明有界性成立的思路。常用的證明方法有：數學歸納法，基本不等式，簡單的函數不等式，函數最值法等。
同學們如果有考研數學方面的疑難問題，或者有好的建議，意見，歡迎在評論區中給老梁留言。
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