21廈大數學考研 | 數列與函數極限複習建議!

2021-01-14 文彥考研專業課


在數列極限這一章中，首先，引入了基本的極限的定義、性質及四則運算之後，教材中介紹了至少6個求極限的方法。


隨後，有了收斂的性質，知道了收斂數列有什麼特性，比如說收斂的有界性，也就是收斂必有界，定理2.2.2（這個是判斷收斂的必要條件）。


那麼反過來，有界數列必收斂嗎？


不一定吧，舉個反例，sin(n*\pi/4).我們更想知道收斂數列的充要條件，這跟一個數列本身的性質有關。


為什麼要找到收斂數列的充要條件呀？


如果只根據收斂的定義，很多時候我們甚至不知道它的極限，要是沒有別的判斷方法就無法知道其是不是收斂。


一個自然的想法是，既然收斂必有界，有界不一定收斂。那麼肯定有界與收斂存在一個相關的關係，我們已經猜對了一半了吧。


那自然的就有幾個問題：


l 有界數列加上什麼條件，就必定收斂（判斷收斂的充分條件）：單調有界數列收斂定理


l 有界數列可以得到什麼結論?（雖然不一定收斂，應該是一個弱一點的結論也沒關係）：Bolzano-Weierstrass定理


l 更進一步地，判斷收斂的充要條件是什麼呢?：Cauchy收斂原理

閉區間套定理把這4個定理建立了聯繫。


在數列極限這一章中，五個實數系的基本定理需要掌握其證明，其5個定理的關係如下圖所示：




1. 確界存在定理（實數系連續性）：非空有上界數集必有上確界。證：刻畫


2. 單調有界數列收斂定理。證：確界存在定理及確界定義


3. 閉區間套定理：閉區間套，存在唯一實數屬於所有閉區間，且唯一。證：存在性，單調有界收斂定理及閉區間套定義；唯一性，反證及夾逼


4. B-W定理：有界數列必有收斂子列。證：構造閉區間套得極限，再證有一子列收斂於該極限（構造一子列夾逼於閉區間兩端點）


5. Cauchy收斂原理（實數系完備性）：數列收斂得充要條件是基本數列。證：必要，收斂定義及插項三角不等式；充分，基本數列定義知必有界，由B-W定理知有收斂子列趨於極限，基本數列定義



第二點需要掌握的是，求極限的常見方法。

現給大家總結如下：

1. 由定義解出最佳正整數N，注意插項和三角不等式的技巧；

2. 利用二項式放縮，注意典型題型及常見結論；

3. 兩個平均值；

4. 夾逼準則；

5. Stolz定理，思考什麼時候用Stolz定理：如有明顯遞推、給出和式時；

6. 應用單調有界數列收斂定理；

(1) 利用遞推求極限

(2) 三個常用無理數

(3) p級數

(4) Fibonaccii數列




函數極限的大部分定義定理為數列極限的延拓，大家複習時應注意對比。


同時，要明白連續其實本質上就是極限，也要會區分點連續和一致連續：前者為局部性，後者則為整體性的概念。


另外，連續函數中的重點為三類不連續點，對應不同的類型應能給出典型例子，並畫圖形象表示，可以判斷不連續點的類型。


（1）第一類（跳躍點）：左右極限存在但不相等。注意單調函數；

（2）第二類：左右極限中有不存在。注意Dirichlet函數及其變形；

（3）第三類（可去間斷點）：左右極限存在且相等，但不等於f(x0)或f(x0)無定義。


例f(x)=xsin(1/x)；注意例3.2.7 Riemann函數（畫圖直觀理解，對比Riemann函數和dirichlet函數，一個跳的高度一樣，一個跳的高度為1/p）。


在無窮小量與無窮大量的階這一小節中，需自己總結常用的等價關係。


例如我總結的部分常用等價關係和高階關係給大家參考一下。

【參考】


l 常用的等價關係：


1）x->0： 

sinx~x

1-cosx~1/2 x^2

tanx - sinx ~ 1/2 x^3 ，變形 sinx ((1-cosx)/cosx) ~ 1/2 x^3

In(1+x) ~ x

(1+x)^a -1 ~ ax

tanx ~ x

arctanx ~ x

e^x - 1 ~ x，變形 a^x -1 ~ x Ina


2）x->\pi/2 -：

tanx ~ 1/(\pi/2 - x)，變形如下

cosx ~ \pi/2 - x


l 常用的高階關係：


1）x->+\infty：低到高階無窮大量（從小到大）

           In^k(x), x^a, a^x,[x]!,x^x


2）x->0+：高到低階無窮小量（從小到大）

      (1/x)^(-1/x), 1/[1/x]!, a^(-1/x), x^a, In^(-k)(1/x)


隨後，對於連續函數在閉區間上的5個分析性質，對應5個定理：有界性定理、最值定理、零點存在定理、一致連續Cantor定理，需掌握其證明思想。


證明它們用了實數系的5個基本定理，當中我們用的比較多的是b-w定理和閉區間套定理，實際上因為實數系的5個基本定理等價，因此用任意一個證明都是等價的，難度有差。這種題可以考，可當作習題自我檢測。



相關焦點

  • 2016考研數學:求數列極限的方法總結
    極限是考研數學每年必考的內容,在客觀題和主觀題中都有可能會涉及到，平均每年直接考查所佔的分值在10分左右，而事實上，由於這一部分內容的基礎性，每年間接考查或與其他章節結合出題的比重也很大。極限的計算是核心考點，考題所佔比重最大。熟練掌握求解極限的方法是得高分的關鍵。　　極限無外乎出這三個題型：求數列極限、求函數極限、已知極限求待定參數。 熟練掌握求解極限的方法是的高分地關鍵, 極限的運算法則必須遵從,兩個極限都存在才可以進行極限的運算,如果有一個不存在就無法進行運算。以下我們就極限的內容簡單總結下。
  • 2021考研數學高數衝刺備考:重要定理之函數與極限
    考研數學是很多考生需要邁過去的坎，考生需要知道每章節的考點是什麼，針對性複習和掌握知識點，為了幫助考生學習考研數學，甘肅中公教育給大家整理了2021考研數學需要掌握的知識點，供大家參考學習使用。►函數與極限1、函數的有界性在定義域內有f(x)&geK1則函數f(x)在定義域上有下界，K1為下界如果有f(x)&leK2，則有上界，K2稱為上界。函數f(x)在定義域內有界的充分要條件是在定義域內既有上界又有下界。2、數列的極限定理(極限的性)數列xn不能同時收斂於兩個不同的極限。
  • 2018考研數學重難點極限考點精講
    考研數學複習：考研數學複習先了解考察特點，命題趨勢，再對症下藥的複習，這樣才能提升效率。本文為廣大考生整理2018考研數學重難點:極限考點精講，更多考研數學怎麼複習、考研數學題型、考研數學大綱、考數學試題等備考資料，歡迎訪問北京研究生招生信息網。
  • 2020考研數學複習:高數這些知識點愛出證明題
    2020考研數學複習：高數這些知識點愛出證明題 福建在職研究生招生信息網福建中公考研為大家整理考研備考相關內容，希望同學們都順利備考，最終進入自己理想的院校考研數學的試卷，高數題佔據了一部分分值，要想將這部分分值拿到手，就要對高數知識了如指掌。
  • 考研數學:六大絕技在手,函數極限不用愁
    眾所周知，函數求極限是高等數學中最基礎的內容，並且是每年考研數學的必考內容。所以各位考生一定要將極限問題琢磨透了，才能保證在這類考察基礎知識的題目上不丟分。 ；也有的題目是間接涉及到求極限問題，例如2012年數學一的1題是要求曲線漸近線的條數，求曲線漸進線最終還是通過求函數極限來達到的。這兩類題目在歷年考研數學試題中出現的頻率都很高，求極限的方法一定要熟記於心、熟練掌握，不可輕視！
  • 2018考研數學:歷年必考知識點極限的計算
    極限是考研數學每年必考的內容，分值在10分左右。極限的計算是考研數學的重難點，現分別從涉及的知識點、考查方式、計算常規方法、求解步驟等幾個個方面進行分析。如果這部分掌握了複習的要點，還是很容易得分。下面就如何對這部分複習給大家作個全面總結。首先看下這部分考察的方式。第一、直接考察函數極限；第二、由其他問題轉化為極限問題，然後求解極限問題，常見轉化的有：無窮小的比較問題；函數一點連續問題；間斷點問題；一點導數存在性問題；廣義積分問題；級數斂散問題，這部分的處理我們考試必須要明白他們轉化極限問題的形式是什麼，然後就按照極限問題處理就行了。
  • 30年考研數學真題分類解析|專題三:極限基本理論
    今天繼續推出《30年考研數學真題分類解析》專題三：極限基本理論。極限理論是考研高等數學最不容易掌握的內容，定理繁多，擴展性較強，出題點基本上是理論的擴展部分，如四則運算、複合函數法則的擴展，極限性質的擴展等。由於這部分真題題目較多，篇幅過長，因此知識連結部分只列出了與題目相關的部分，其它部分可參考老梁的其他文章。
  • 數學分析第三章《函數極限》備考指南
    數列是一種離散的函數，有了這種特殊的函數極限理論做基礎，第三章討論一般的函數極限就水到渠成。總體上，本章的研究方法和第二章是相似的，從定義到性質，再到函數極限存在的條件。大表哥再次強調，數學理論所有的出發點都是定義，所以同學們必須掌理解函數極限定義並掌握定義的證明方法。很多院校的初試，會直接考查六類極限中的某一個，利用定義去證明。證明的難度如下圖的例5，例6。同學們在看書的過程中，要注意體會 δ 的找法，並對比數列極限中 Ν 的找法。
  • 2017考研數學一複習重點:數列和級數收斂
    今年考研數一高數部分考到的收斂性有：反常積分的收斂性判斷一道選擇題、一道大題的第一小問和第19題級數收斂和數列收斂。這道題是有難度的，尤其是第二問，證明數列收斂。在考試之前，很多輔導班的老師都預測今年數學會出證明題，很可能是在中值定理那塊兒，因為往年一般都是有關中值定理的證明題。
  • 考研數學|極限可用夾逼準則計算的n項和數列,就這3種類型!
    計算n項和數列極限是考研數學一個常見的考點。就其計算方法來說，主要有下面5種方法：(1)公式法：先利用數列求和公式求和，然後再求極限；(2)定積分法：n項和轉化為某一個函數特殊積分和的形式，利用定積分計算該積分和；(3)夾逼準則法：先利用和式數列或部分數列的單調性，將和式分別放縮成兩個極限相等的n項和數列，這兩個數列的極限就是所求極限；(4)冪級數法：將數列求和轉化為冪級數求和，求出和函數後再代入相應點的值
  • 考研數學複習必備之超綱複習
    關於考研輔導書的超綱問題，著名考研輔導專家王式安、蔡燧林、胡金德在《考研數學基礎教程》一書裡，有一段非常深刻的話，現在照抄於下，作為對09考研朋友選擇輔導書及進行具體複習的重要提示。 　　超綱題：把數學系的專業內容插到工科輔導材料的題目中，此舉貌似高深，但實質卻是誤導。
  • 2021考研數學高數衝刺備考:求極限的16種方法匯總
    考研數學是很多考生需要邁過去的坎，考生需要知道每章節的考點是什麼，針對性複習和掌握知識點，為了幫助考生學習考研數學，甘肅中公教育給大家整理了2021考研數學需要掌握的知識點，供大家參考學習使用。1、極限分為一般極限，還有個數列極限(區別在於數列極限是發散的，是一般極限的一種)。
  • 考研數學|難點突破!遞推數列單調有界原理方法之有界性證明
    大家好，我是老梁考研數學！遞推數列極限存在的證明及計算是考研數學的一個重要考點，同時也是難點。在歷年考研數學真題中，常常是高等數學部分中的壓軸題，很少有同學能夠全身而退！老梁考研數學計劃通過幾篇文章對遞推數列極限存在證明與計算的方法做一詳細講解，幫助同學們突破難點，掌握方法，順利地解決考研數學的這類題型。考研數學對遞推數列極限存在性證明方法的考查主要是「單調有界原理」。在極限存在證明中主要要做兩件事：一是證明數列的單調性，二是證明數列的有界性。本篇重點介紹證明遞推數列極限存的單調有界原理之有界性證明的思路和方法。
  • 都教授說考研數學:函數極限真題解法
    數學是一門神奇的學科，同時也充滿挑戰性，很多人對數學望而生畏，因此部分同學在選擇考研時儘量避開數學。其實，數學沒有那麼神秘而艱難，這在我們每年的數學滿分者中可見端倪，而其他科目，如政治、英語，根本就沒有出現過滿分。這一點充分說明，考研數學是有章可循的，只要方法得當、複習充分、持之以恆，取得高分絕不是痴人說夢。
  • 考研數學,「雷區」誤入!_複習經驗_考研幫(kaoyan.com)
    摘要：考研數學的複習講究的是方法和效率，這就要求大家要有識別雷區的能力，千萬不要走進了以下幾個雷區，不然到頭來只會事倍功半。
  • 2021考研數學高數複習知識點:函數、極限與連續怎麼考察
    2021考研數學高數複習知識點：函數、極限與連續怎麼考察  註：本站稿件未經許可不得轉載，轉載請保留出處及源文件地址。
  • 考研數學-極限的定義
    第一章 極限&連續極限在考研數學中佔有很大的比重，考試一般會以一道小題和一道大題出現。本文主要分享第一節，極限的定義。極限定義的準確理解能夠為高等數學的學習打下良好的基礎。同時，極限的定義常常被作為壓軸題，或者是難度較大的證明題，故大家務必將定義理解透徹。函數極限的定義，本部分採用的是張宇老師的講義。以表格的的形式列出了函數極限的所有定義式，如下。
  • 2016考研數學考試大綱及複習重點:多元函數微分學
    中國教育在線訊 9月18日這個在中國歷史上成為轉折點的一天，同樣也為2016年參加考研的同學帶來了重磅消息—2016年考研大綱正式發布，下面跨考教育數學教研室趙睿老師就按章節來分析大綱的要求以及複習該章節的重點：2016年考研大綱公布
  • 2016高考數學複習:極限知識點歸納總結
    2016高考數學複習：極限知識點歸納總結 2015-10-14 14:09 來源：精品學習網 作者：
  • 2016考研數學:為你解析函數連續
    摘要：在數學複習初期，會有很多容易混淆的點，2016考研er們，間斷點的類型，你能一眼看出來嗎？沒關係，時間會把你變成大神，慢慢來。