討論極限的運算法則、極限存在準則和兩個重要極限

大家好，我是專升本數學學霸，這次我們來討論極限的運算法則、極限存在準則和兩個重要極限。那你知道極限的運算法則、極限存在準則和兩個重要極限呢？沒關係，學霸來幫你來了。

一.極限的運算法則

定理1：兩個無窮小之和是無窮小。

延伸： 有限個無窮小之和是無窮小。

定理2：有界函數乘以無窮小是無窮小。

推論1：常數乘以無窮小是無窮小。

推論2：有限個無窮小的乘積是無窮小

定理3：如果 lim f(x)=A, lim g(x)=b,那麼：

（1）lim[ f(x) ± g(x)]=lim f(x) ± lim g(x)=A+B;

(2) lim[ f(x) · g(x)]=lim f(x) · lim g(x)=A · B;

（3） lim ( f(x) / g(x) )=lim f(x) / lim g(x)=A / B

推論1 ：如果lim f(x) 存在，而c為常數，那麼

lim [c f(x)]= c lim f(x)

求極限時，常數因子可以提到極限 符號外面，因為 lim c=c

推論2:如果lim f(x) 存在，而n為正整數，那麼

定理4

定理5

如果φ(x)≥ψ(x),而 lim φ(x)=A, im ψ(x)=B,那麼A≥B。

當a0≠0，b0≠0，m和n為非負整數時，有：

總結：當 x →∞時，分子的最大指數值 大於 分母的最大指數值時，極限為 0；

分子的最大指數值 等於 分母的最大指數值時，極限為 分子的最大指數值的常數 比上 分母的最大指數值的常數；分子的最大指數值 小於分母的最大指數值時，極限無窮大 ∞。

定理6 （複合函數的運算法則）設函數 y=f[g(x)]是 由函數 u=g(x)與函數y=f(u)複合而成，f[g(x)]在點x0的某去心領域內有定義，若

且存在δ0>0,當

時，有g(x)≠u0，則

二.極限存在準則

準則1 如果數列{xn},{yn}及{zn}滿足下列條件：

（1）從某項起，即

當

時，有

yn≤xn≤zn

（2）

那麼數列{xn}的極限存在，且

準則2 單調有界數列必有極限。

①如果數列{xn}滿足條件

就稱數列{xn}是單調增加的，n增加時，數列的值跟著增加；

②如果數列{xn}滿足條件

就稱數列{xn}是單調減少的，n增加時，數列的值跟著減小。

單調增加和單調減少統稱為單調數列

三. 兩個重要極限

①第一個重要極限：

lim sinx/x=1(x→0)

當x→0時，sin/x的極限等於1.

特別注意的是x→∞時，1/x是無窮小，根據無窮小的性質得到的極限是0。

當x→∞時，sin x /x 的極限等於0

②第二個重要極限：

lim(1+1/x)^x=e

、

當x→∞時，（1+1/x）^x的極限等於e。

或 當x→0時，(1+x）^（1/x）的極限等於e。

今天的內容就到此為止，以上內容純屬個人總結的觀點，不代表官方的觀點。下次我們接續討論函數的連續性與間斷點、連續函數的運算與初等函數的連續性、閉區間上的連續函數的性質。要想收藏的朋友，可以點擊收藏。如果覺得我總結得不錯，請點讚。謝謝支持！