「極限」第四節 極限運算法則

定理例題

極限運算法則就像加減乘除四則運算一樣，是一種計算規則，那麼極限也有屬於它自己的一套計算規則。

極限運算法則的常用定理

定理1 兩個無窮小的和是無窮小有限個無窮小之和也是無窮小定理2 有界函數與無窮小的乘積是無窮小常數與無窮小的乘積是無窮小有限個無窮小的乘積是無窮小定理3 如果有lim(fx) = A, limg(x) = B,那麼Lim[cf(x)] = climf(x)Lim[f(x)] = [limf(x)]，推廣到n次冪同樣適用Limf(x)/g(x) = limf(x)/limg(x) = A/BLim[f(x) ± g(x)] = limf(x) + limg(x) = A±Blim[f(x) * g(x)] = limf(x) * limg(x) = A * B若又有B != 0,則推論1 如果limf(x)存在，而n是正整數，那麼推論2 如果limf(x)存在，而c為常數，那麼定理4 設有數列{Xn}和{Yn},如果Lim(Xn ± Yn) = A±BLim(Xn * Yn) = A * B當Yn != 0, 且B != 0時，limXn/Yn 在n趨向於無窮時，等於A/BlimXn 在n趨向於無窮時等於AlimYn 在n趨向於無窮時等於B 有定理5 如果W(x) >= U(x),而limW(x)=A,limU(x) = B,那麼A >= B定理6 設函數y=f[g(x)]是由函數u=g(x)與函數y=f(u)複合而成，f[g(x)]在點X0的某去心鄰域內有定義，若limg(x) =u0,limf(u) = A,且存在Q0>0, 當x屬於-Q<x<Q時，有g(x) != u0,則limf[g(x)] = limf(u) = A.

例題

對於極限的運算，主要就是化簡，替換。

結論：有界函數與無窮小量的乘積為0