求極限的方法-洛必達法則

2021-02-23 專轉本高等數學

今天繼續介紹求極限的第7種方法（一共8種方法）

洛必達法則（l'Hôpital's rule）是在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式極限的方法。大意為兩個無窮小之比或兩個無窮大之比的極限可能存在，也可能不存在。因此，求這類極限時往往需要適當的變形，轉化成可利用極限運算法則、或重要極限的形式進行計算。洛必達法則便是應用於這類極限計算的通用方法。這法則是由瑞士數學家約翰·伯努利（Johann Bernoulli）所發現的，因此也被叫作伯努利法則（Bernoulli's rule）。洛必達和伯努利之間流傳還有一個有趣的小故事。

洛必達法則（定理）

設函數 f(x）和F(x）滿足下列條件：

⑴ x→a時，lim f(x)=0, lim F(x)=0;

⑵ 在點a的某去心鄰域內 f(x）與F(x）都可導，且F(x）的導數不等於0;

⑶ x→a時，lim(f'(x)/F'(x)）存在或為無窮大

則 x→a時，lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x))

註：⑴本定理所有條件中，對x→∞的情況，結論依然成立。

⑵本定理第一條件中，lim f(x)和lim F(x)的極限皆為∞時，結論依然成立。

⑶上述lim f(x)和lim F(x)的構型，可精練歸納為0/0、∞/∞；與此同時，下述構型也可用洛必達法則求極限，只需適當變型推導：0·∞、∞-∞、1的∞次方、∞的0次方、0的0次方。（上述構型中0表示無窮小，∞表示 無窮大。）

相關焦點

  • 洛必達法則
    首先說一點，紅線處的表達式寫錯了，應該是（1-2入）/入，而且討論也不全面.解題過程如下. 這類問題和含參數的恆成立問題，含參數的恆成立2類似，處理方法有分離參數和含參討論兩種. 鑑於多少童鞋不願意討論，不會討論，咱們說說分離參數的方法.
  • 洛必達用金錢買來的法則-洛必達法則
    最近在上高等數學課時，臺上的老師看我們在臺下有幾個同學聽的一臉懵比，當時正好講到這個用來求極限的洛必達法則，為了讓數學課不那麼枯燥乏味，老師便引出了這個看起來很重要的高數定則洛必達法則背後的故事。學習微積分的同學不可能不知道一個法則：洛必達法則。
  • 洛必達法則的歷史發展及其應用
    洛必達法則，作為其中一篇不起眼的章節卻起著大大的作用，應用在生活的方方面面。說起洛必達法則，就必須提一下洛必達這個人1661年洛必達出生於法國的貴族家庭。1704年2月2日卒於巴黎。他曾受襲侯爵銜，並在軍隊中擔任騎兵軍官，後來因為視力不佳而退出軍隊，轉向學術方面加以研究。
  • 洛必達法則在高中數學中的應用
    洛必達於1661年出生於法國的貴族家庭，他是數學家，偉大的數學思想傳播者，洛必達法則是他的一重大代表作，我們研究函數提供了新的方向.在介紹本文主要內容之前，大家先看一道題目：為了回答上面這個問題，我們得給出洛必達法則：「洛必達法則」是高等數學中的一個重要定理，用分離參數法（避免分類討論）解決成立、或恆成立命題時，經常需要求在區間端點處的函數（最）值，若出現0/0型或無窮大/無窮大型可以考慮使用洛必達法則。
  • 如何理解洛必達法則?
    為了知行合一，洛必達從數學家伯努利手中重金買下了一個智慧財產權，伯努利收穫了金錢，也付出了後悔。這次交易的內容就是我們今天要講的，以洛必達的名字命名的洛必達法則。洛必達法則（l'Hôpital's rule）是利用導數來計算具有不定型的極限的方法。這
  • 微積分之極限洛必達
    極限說白了就是指無限靠近而永遠不能到達（可以形容悲傷的愛情）某一個函數中的某一個變量，此變量在變大（或者變小）的永遠變化的過程中，逐漸向某一個確定的數值A不斷地逼近卻永遠不能夠重合到A，A我們叫它白富美。哦不對，叫它極限值。關於極限的解法，很多，也很複雜（白富美不好追！）。今天我向各位屌絲們安利一種方法，穩紮穩打行不通，咱就開掛！
  • 你要的洛必達法則
    研究陌生函數的最值：用導數作工具研究函數f(x)最大值的方法當然還是求導數.這種情況下，怎麼可能求出最值呢？求不了最值：洛必達上場我們注意到：這使我們想到「洛必達」法則.首先我們要了解這個法則的使用條件.
  • 洛必達法則背後的故事
    我們在學習高等數學求極限的內容時，洛必達法則幾乎是必學的。但是大家可能不知道，洛必達法則的提出者並不是洛必達本人，而是他的老師伯努利。
  • 洛必達法則在高考中到底能不能用?
    以目前的高中教材知識是沒有辦法證明洛必達法則的。也就是說，洛必達法則對於高中生來說，超綱了。那麼超綱的知識，如果應用到高考中就應該不得分了。而事實上並非如此。首先我們說，能在考場上有時間做導數，這道題的學生並不太多。就算是有思路，按照標準答案給出的解題方法。
  • 2016考研數學:求數列極限的方法總結
    極限的計算是核心考點，考題所佔比重最大。熟練掌握求解極限的方法是得高分的關鍵。　　極限無外乎出這三個題型：求數列極限、求函數極限、已知極限求待定參數。 熟練掌握求解極限的方法是的高分地關鍵, 極限的運算法則必須遵從,兩個極限都存在才可以進行極限的運算,如果有一個不存在就無法進行運算。以下我們就極限的內容簡單總結下。
  • 專家指導:考研高數求極限的幾種方法
    這些高數中最重要的概念都是用極限來定義的。極限是貫穿高等數學的一條主線，它將高等數學的各個知識點連在一起。實際上，極限的思想和方法產生於某些實際問題的精確解，並且對數學在實際中的應用也有著重要的作用，因此研究生考試往往把求極限問題作為考核的一個重點。下面我們來介紹幾種考研試題中經常出現的求極限的問題。1. 利用兩個重要極限法
  • 洛必達的小秘密
    這次故事的主角是洛必達。作為一個沉迷學（chi）習（ji）的優秀大學生，那必須對這位對數學界做出傑出貢獻的學者有所了解。比如，我知道有洛必達法則、洛必達法則，和，嗯，洛必達法則。（就知道一個洛必達法則，還不會用，你可他媽快閉嘴吧）
  • 「洛必達法則」居然是買來的!
    主人公洛必達出生於法國貴族家庭，家境優渥，自幼酷愛數學，並展現出了過人天賦。後來，洛必達拜瑞士數學大師約翰.伯努利為師，成為其座下弟子。值得一提的是洛必達為此所支付的薪酬是伯努利工資的兩倍。後來洛必達找到他：「親愛的老師啊，你看你家裡這麼窮，不如把你的文章賣一份給我，你也賺點錢花，我也落得個美名，如何？」伯努利欣然接受：「好啊好啊！
  • (買來的公式)「洛必達法則」 失效篇
    約翰.伯努利洛必達【多講幾句】：其實，洛必達這個人還是不錯的。洛必達是法國中世紀的王公貴族，他喜歡並且酷愛數學，後拜伯努利為師學習數學。但洛必達法則並非洛必達本人研究。實際上，洛必達法則是洛必達的老師伯努利的學術論文，由於當時伯努利境遇困頓，生活困難，而學生洛必達又是王公貴族，洛必達表示願意用財物換取伯努利的學術論文，伯努利也欣然接受。此篇論文即為影響數學界的洛必達法則。
  • 洛必達法則是買來的 你知道麼?
    我相信在大學裡學過數學的人，洛必達法則你一定不陌生。我相信大多人都是聽過，不會，也不知道是什麼。但是我覺得大多數人肯定這樣認為，洛必達法則就是洛必達寫的。其實並不是，因為洛必達法則，是洛必達買來的。洛必達本人出身貴族，數學水平不是很高。
  • 2016考研數學:考點三之求函數極限
    求函數極限是每年考研數學必考的題型之一，我們這裡講的求函數極限主要是指求未定式的極限,而所有未定式極限都可化為，洛必達法測是求這類極限非常重要的方法，但一開始不要急於使用洛必達法則。
  • 2021考研數學高數衝刺備考:求極限的16種方法匯總
    (x趨近無窮的時候還原成無窮小)2)洛必達法則(大題目有時候會有暗示要你使用這個方法)首先他的使用有嚴格的使用前提。必須是X趨近而不是N趨近。(所以面對數列極限時候先要轉化成求x趨近情況下的極限，當然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件。還有一點數列極限的n當然是趨近於正無窮的不可能是負無窮!)必須是函數的導數要存在!
  • 考研數學|真題一題多解系列,精選007|已知極限反求未知參數
    今天老梁繼續給大家推送《考研數學真題分類解析系列》第007期，精選了一道已知極限反求未知參數的問題，也叫作極限的反問題。一般來說，不同類型的問題（如0/0型，∞/∞型，∞-∞型等）採取的方法也有所不同。
  • 考研數學不定型極限計算的一些小方法小技巧
    型我相信大家複習的時候都學過不定型極限的幾種方法，洛必達法則，麥克勞林公式，以及無窮小替換。還有不定型極限的7種分類。當然考場上大家都是遵循的原則是做的對，做得快，做的順暢。所以做不定型極限計算的題目一般都要求一氣呵成。
  • 老師上課必講的那些科普小段子,洛必達法則、苯環、泊松亮斑
    數學：洛必達法則洛必達法則在很多學生眼裡是個神秘的技巧，很多班裡的「數學王子」，在做題的時候都很喜歡用這個技巧，尤其是前面的填空和選擇，用這個技巧可以節省很多時間。不過洛必達法則不是每個學校都會教，一般只有頂尖高中的數學老師會講，並且不會當成主要技巧。