你要的洛必達法則

2021-02-13 高考數學左老師

有讀者朋友在微信後臺留言，問到了下面這個問題.


恆成立：先孤參試試

對於恆成立問題，我們首先嘗試分離參數的辦法.

為把m分離出來，我們需要做一些等價變形.


上面的變形過程中，對x是否等於0不可遺漏.

研究陌生函數的最值：用導數作工具

研究函數f(x)最大值的方法當然還是求導數.


為簡化研究過程，我們把分子部分看作一個新函數.這也是導數部分的常用技巧之一.


這裡的技巧之二就是抓特殊點的函數值，本題g(0)=0,g'(0)=0.

如法炮製，我們把分子部分再次看作一個新函數.


顯然，函數h''(x)有唯一零點0.由此我們能夠逐步地反推出原函數f(x)的單調性.

技巧：由多階導數反推原函數單調性


這個過程非常有趣.


從上面的分析我們知道，f'(x)的符號是由分母決定的.


這種情況下，怎麼可能求出最值呢？

求不了最值：洛必達上場

我們注意到：


這使我們想到「洛必達」法則.首先我們要了解這個法則的使用條件.

當我們遇到除式形如「零比零」、或者「無窮比無窮」、或者「零乘以無窮」的時候，可以採用洛必達法則求出它的極限值.請注意，「零乘以零」，「無窮乘以無窮」的形式，不用洛必達法則.

當滿足這個條件時，極限值可以通過對分子和分母同時求導得到.


由此，我們求出m的取值範圍.


當然，本題不用分離參數的辦法，而是採用含參討論的方法也能做，也不算太麻煩.

而且，在高考中用洛必達法則是有風險的.

在中學階段還是以討論法為主.因為它保險啦.

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