微積分之極限洛必達

小時候曾經有人問過我1除以3等於多少？答案很簡單0.333（3無限循環）。那再乘三呢？更簡單了0.999（9無限循環）。好了那麼問題來了，剩下的0.000...1（省略N個0）去哪了。如果此刻的你抓著頭皮在仔細想這道問題，那麼恭喜你，你可以去隔壁的幼兒園深造了。

這個問題很無聊，實質在於對無限小數的認知，循環節趨近於無限大的時候，0.999（9無限循環）可以近似看成1，循環並不是一個最終答案，而是一個無限趨近的答案。理解了無限趨近的思想之後，歡迎你來到極限的世界！！！！

我曾經問過我的日本數學教授：「解析學（數學分析）是什麼？」教授笑說：「極限思想！」 簡單四個字竟讓我窒息（數學狂熱粉），震撼人心。

極限是數學微積分的基礎概念。極限說白了就是指無限靠近而永遠不能到達（可以形容悲傷的愛情）某一個函數中的某一個變量，此變量在變大（或者變小）的永遠變化的過程中，逐漸向某一個確定的數值A不斷地逼近卻永遠不能夠重合到A，A我們叫它白富美。哦不對，叫它極限值。

關於極限的解法，很多，也很複雜（白富美不好追！）。今天我向各位屌絲們安利一種方法，穩紮穩打行不通，咱就開掛！    數學極限內容中，有個鼎鼎大名的洛必達法則，無數理科生對它愛不釋手，但是畢竟這是大學的知識，校內考試是不能用的。不過留考這樣不需要過程的考試，用它在合適不過了。廢話不多說，直接上題

當我們不知道洛必達法則的時候，拿到這道題第一反應就是定義法，利用函數的連續性這一思想，很容易想到要把這個分式變成在零處可以微分的形式。當我們設e^x-1=f（x）的時候，可以發現原式可以寫成※標，就這樣這題變成了最簡單的微分。

接下來介紹洛必達法則解法。必達法則是在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法。如圖所示，e^x-1的微分等於e^x，x的微分等於1.所以當x=0的時候，e^0=1。不難發現洛必達非常簡單迅速就把這道題解了出來。

在運用洛必達法則之前，首先要完成兩項任務：一是分子分母的極限是否都等於零或者無窮大(稱之為不定型)；二是分子分母在限定的區域內是否分別可導；如果這兩個條件都滿足，接著求導並判斷求導之後的極限是否存在：如果存在，直接得到答案；如果不存在，則說明此種未定式不可用洛必達法則來解決。所以留考中的我們可以直接將x=0帶入去驗證是否為不定型，而大學中的正確解法如下圖。

刷過留考試卷好幾遍的小編我可以負責任的告訴大家，留考中的題大多是不定型，所以掌握洛必達的你做題一定快別人一步。下面是留考極限實戰問題

當n=1的時候，我們把0帶入發現原式是不定型，所以這道複雜的問題瞬間變成簡單的微分問題，得到了c=0這一結論後我們就可以令分母等於0，並且依靠x趨近於0（x=0）這一條件我們可以迅速得到答案。後兩小問也是同樣用洛必達解，非常簡單。

相信在課堂上很少老師會提起這個法則的小插曲，今天為大家介紹背後的故事。小編個人理解成當富二代（故事主人公洛必達）遇見數學家（伯努利），重金之下必有偉大發現的故事。

大家應該都能理解去擬一道數學問題難度大於去解一道數學問題，而去發現一個法則的難度更是難如登天。多少數學興趣愛好者競折腰。洛必達就不幸是其中之一，現實就是這樣，自身才能可能遠遠不及熱情，興趣也終將不能讓你走向職業，無論洛必達如何努力，始終無法在數學上有重大發現。

 

自身經濟實力的優越使得洛必達繼續在數學上堅持下去。重金請來了十七世紀末享有盛名的數學家約翰伯努利（培養了史詩級別偉大數學家歐拉）來做自己的老師。身邊都是偉大的數學家的弊端在於固然自身實力得到了提高，卻又嚴重打擊到自己的自信。洛必達不甘於自己就這麼沉澱在歷史的長河中，於是寫信給伯努利表示願意花錢去買他的論文。

用錢之際的伯努利就定期寄給洛必達自己的新發現（洛必達法則就在其中）。洛必達得到了這些成果後，開始研究並加以整理終於完成了帶一本系統介紹微積分的著作。洛必達的聰明之處在於他在前言就表示了這本書的很多結論得益於他人。小編個人覺得洛必達怕是給的錢不夠多，在他去世後伯努利公開了那一封信（可以說是非常不厚道了）想去認領重要的法則。

事實上小編個人覺得科研是可以買賣的，我也認可洛必達為數學所做出的努力。無數個油燈照亮的夜晚，大量的時間和精力都是為了數學能夠廣為傳播，值得尊敬!

 

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