大家好，我是專升本數學學霸，這次我們來討論數列的極限和函數極限以及無窮大和無窮小。那你知道數列的極限和函數極限、無窮大和無窮小以及無窮小的比較呢？沒關係，學霸來幫你來了。
一、數列的極限
講解數列的極限之前，先看看什麼是數列？
數列可以看成幾何上的分散的動點，看成自變量為正整數為n的函數：
當自變量n依次取1,2,3,4,5，……，n,一切正整數數時，函數值就排列成數列{xn}。
設{xn}為一數列，如果存在常數a，對於任意婭給定的正數ε（不論它多麼小），總存在正整數N使得當n>N時，
都成立，那麼就稱常數a是數列{xn}的極限，或者稱數列{xn}收斂於a，記為
或
收斂數列的性質：
①（極限的唯一性） 如果數列{xn}收斂，那麼它的極限唯一。
②（收斂數列的有界性）如果數列{xn}收斂，那麼收斂{xn}有界。
那麼存在整數N，當n>N時,都有xn>0或xn<0。
④如果數列{xn}收斂於a，那麼它的任一子數列也收斂，且極限也是a。
二、函數的極限
定義① 設函數f(x)在點x0的某一去心領域內有定義，如果存在常數A，對於任意給定正數 ε（不論它多麼小），總存在正數δ，使得當x滿足不定時0<|x-x0|<δ時，對應的函數值f(x)滿足不等式。
那麼常數A就叫做函數f(x)當x→x0時的極限，記住
②設函數f(x)當|x|大於某一正數時有定義，如果存在常數A，，對於任意給定正數 δ（不論它多麼小），總存在正數X，使得當x滿足不等式|x|>X時，對應的函數值f(x)滿足不等式。
那麼常數A就叫做函數f(x)當x→∞時的極限，記住
2.性質
①（函數極限的唯一性）如果 x→x0，f(x)的極限存在，那麼這極限唯一。
②(函數極限的局部有限性)如果 x→x0，f(x)的極限等於A，那麼存在常數M>0和δ>0，使得當0<|x-x0|<δ時，有|f(x)|<=M。
③（函數極限的局部保號性）如果 x→x0，f(x)的極限等於A，且A>0(或A<0),那麼存在常數δ>0,使得當0<|x-x0|<δ時，有f(x)>0(或f(x)<0)。
④（函數極限與數列極限的關係）如果 x→x0，f(x)的極限存在，{xn}為函數f(x)的定義域內任一收斂於x0的數列，且滿足xn≠x0（n∈N+），那麼響應的函數值數列{f(xn)}必收斂，且 （n→∞， f(xn)的極限） = （x→x0，f(x)的極限）
學霸來給你支招來了。
求極限時，當 x 趨近於某個數值x0時，先看看f(x)的定義域，如果x0在該定義域有意義，直接代入計算。如果無意義，再看看f(x)式子，式子f(x)是分式，自變量在分母，極限是無窮大。如果是 x趨近於負數，式子是根式，極限不存在。
求極限時，當X趨近於無窮大∞時，就直接看式子f(x)，如果式子f(x)是分式，自變量在分母，極限為0；如果式子是整式和根式，極限直接無窮大∞。
求極限時，如果分子與分母都有自變量，下面就要講到用無窮大和無窮小的求法。
三、無窮大和無窮小
無窮大定義：設函數f(x)在x0的某一去心領域內有定義（或|x|大於某一正數是有定義）。如果對於任意給定的正數 M（不論它多麼大），總存在正數δ（或正數X），只要x適合不等式 0<|x-x0|<δ（或|x|>X），對應的函數值f(x)總滿足不等式：|f(x)|>M ，那麼稱函數f(x)是當x→x0(或 x→∞)時的無窮大。記住：
定理：在自變量的同一變化過程中，如果f(x)為無窮大，那麼 1 / f(x)為無窮小；反之，如果f(x)為無窮小，且f(x)≠0，那麼1/f(x)為無窮大。
2.無窮小
定義：如果函數f(x)當x→x0(或x→∞)時極限為零，那麼稱函數f(x)為當→x0(或x→∞)時的無窮小。
定理：在指不定的同一變化過程x→x0(或x→∞)中，函數f(x)具有極限A充分必要條件是f(x)=A+α，其中α是無窮小。
四、無窮小的比較
無窮小的定義
①如果lim β/α=0，那麼說 β是 比 α高階無窮小 ，記住 β=o（α）；
②如果lim β/α=∞，那麼說 β是 比 α底階無窮小;
③如果lim β/α=C≠0，那麼說 β是 與 α同階無窮小;
④如果lim β/（α 的 k次冪）=C≠0，那麼說 β是 與 α的 k 階無窮小;
⑤如果lim β/α=1，那麼說 β 與 α等階無窮小，記住α~β.
無窮小的定理
① β與alp是等價無窮小的充分必要條件為
β=α+o(α)
②
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