1、(1)敘述極限lim( x→-∞) f(x)的柯西準則；
(2)根據柯西準則敘述lim( x→-∞) f(x)不存在的充要條件，並應用它證明lim( x→-∞) sinx不存在.
解：(1)設函數f在某U(-∞)內有定義。
lim( x→-∞) f(x)在的充要條件是：
任給ε>0，存在正數M，使得對任何x』<-M, x」<-M，都有|f(x』)- f(x」)|<ε.
(2)設f為定義在(-∞,a]上的函數，
若存在正數ε0，對任給正數M，總存在x1,x2，
儘管x1<-M, x2<-M，而|f(x1)- f(x2)|≥ε0，則稱lim( x→-∞) f(x)不存在.
取ε0=1/2，對任給的自然數n，取x1= -nπ,x2= -nπ- π/2，
於是有x1<-n, x2<-n，而|sinx1-sinx2|=1>ε0，
∴lim( x→-∞) sinx不存在.
2、設f在U(x0)內有定義. 證明：
若對任何數列{xn}U(x0)且lim( n→∞) xn=x0，
極限lim( n→∞) f(xn )都存在，則所有這些極限都相等。
證：設數列{xn}U(x0;δ』)且lim( n→∞) xn=x0，記lim( n→∞) f(xn )=A.
設數列{yn}U(x0;δ』)且lim( n→∞) yn=x0，記lim( n→∞) f(yn )=B.
對數列{zn}：x1,y1,x2,y2…,xn,yn,…，同樣有{zn}U(x0;δ』)且lim( n→∞) zn=x0，
∴lim( n→∞) f(zn )存在. ∵{xn},{yn}都是{zn}的子列，∴A=B. 原命題得證。
3、設f為U(x0)上的遞增函數，證明f(x0-0)和f(x0+0)都存在，且
f(x0-0)=sup f(x) ( x∈U-(x0))，f(x0+0)=inf f(x) ( x∈U+(x0)).
證：∵f為U(x0)上的遞增函數，則
對任給的x』∈U-(x0)和任給的x」∈U+(x0)，有f(x』)<f(x」)，
由此可見f在U+(x0)上有下確界，在U-(x0)上有上確界.
記sup f(x)=A ( x∈U-(x0))，inf f(x)=B ( x∈U+(x0))，
於是對任給的ε>0，都有x1∈U-(x0)，使f(x1)>A-ε，
記δ1=x0-x1>0，當x∈U-(x0;δ1)時，就有x>x1，
從而有A+ε>f(x)>f(x1)>A-ε，即|f(x)-A|<ε，
∴f(x0-0)=sup f(x) ( x∈U-(x0))；
x2∈U+(x0)，使f(x2)<B+ε，
記δ2=x2-x0>0，當x∈U+(x0;δ2)時，就有x<x2，
從而有B-ε<f(x)<f(x2)<B+ε，即|f(x)-B|<ε，
∴inf f(x)=B ( x∈U+(x0)).
4、設D(x)為狄利克雷函數，x0∈R. 證明lim( x→x0 ) D(x)不存在.
證：已知狄利克雷函數：
取ε0=1/2，對任何δ>0，在U(x0,δ)中必有有理數x』和無理數x」，
使D(x』)=1，D(x」)=0,
則|D(x』)-D(x」)|=1>ε0，∴lim( x→x0 ) D(x)不存在.
5、證明：若f為周期函數，且lim( x→+∞)f(x)=0，則f(x)≡0.
證：若f(x)0, 則存在x0∈R，使f(x0)≠0.
∵f為周期函數，設周期為L>0，記xn=x0+nL，則xn→+∞ (n→+∞)，
∴lim( n→+∞) f(xn )=f(x0)≠0 (1)
又∵lim( x→+∞)f(x)=0，由歸結原則知lim( n→+∞) f(xn )=0 (2)
可見(1)(2)矛盾，∴f(x)≡0.