多元函數中，最難懂、最難求的地方是多元函數的極限問題。相信不少人都看過了二元函數極限、連續的定義了，但是做題時卻不會做，而對複習全書上的答案可能也似懂非懂、不太理解吧？今天小編就二元函數的極限、連續問題做一個詳細地闡述，二元以上的多元函數的極限、連續概念就是在二元函數基礎上延伸而來。
二元函數極限，本質上就是：若(x, y)沿任意路徑趨於(a, b)時，函數f(x, y)在點(a, b)的極限存在且相等為A，則函數f(x, y)在點(a, b)的極限為A。
但是很多時候，大家可能對所謂的任意路徑不甚理解，有些題目可能只知道做題，而沒有思考更深層次的問題，即為什麼這個方法滿足了二元函數極限定義的要求。小編今天將列舉三個例子，試圖徹底把二元函數極限問題闡述清楚。
1.化零為整求極限
且看下面這道題：
對於上面這道題，有沒有同學是採用下面這條思路做得呢：
首先小編告訴大家，答案是對的，但過程是錯的。請看下面這張圖，在這裡，小編假設無窮大是一個點，題目所求的就是當點(x,y)趨於點(∞,a)時，該函數的極限是多少。但是上面的解法體現的過程是：先沿y方向趨於a，然後沿x方向趨於無窮。而根據二元函數極限定義，需得說明點(x,y)沿任意路徑趨於(∞,a)，極限都為A，顯然，上面的解答不正確。
正確的解答過程如下：
在最後，小編只是把最終的答案寫出來，這是因為其中的過程需要單獨擰出來說下。在上面的解答中，用到兩次化整為零，即將兩個變量化為一個變量。第一個是令t=xy，當x趨於無窮大，y趨於a時，t趨於無窮大；第二個是令m=y/x，此時m趨於0。在這裡，請大家注意，切勿自作聰明，像剛剛錯誤的解答過程那樣，先代y，再代x。
不過，為什麼當我們令t=xy，t趨於無窮時，就能說明包含了(x, y)沿任意路徑趨於(∞, a)呢？這其實就是因為不管(x, y)如何趨於(∞, a)，t總是趨於無窮的，這是顯然成立而無需證明的。但是若當(x, y)趨於(0, 0)時，不能用t=x/y進行化零為整，因為我們無法確認當(x, y)趨於(0, 0)時，t會趨於何值。因此，當需要用到化零為整時，首先要確保的是換元後的變量有個明確的、易判斷的極限值。
2.放大縮小求極限
有些題目不好直接用化整為零求極限，可以考慮放大縮小法進行求解，請看下面這道題：
所謂的放大縮小，原理其實跟夾逼定理一樣，就是找到一個極限式的上限和下限，當上限和下限相等時，則該極限的值就是上限和下限的值。
不難發現上題的下限是0，即該極限值必然大於0。對於上限，則需要對函數進行適當的放大，過程如下：
從上可以看出，題目的上限也為0，因此該題的極限值就為0。
3.如何證明極限不存在？
從二元極限的定義不難看出，要證明一個極限不存在，只需要找到兩條路徑，使得當(x,y)沿這兩條路徑趨於(a,b)時，極限有兩個不同的值，則該極限不存在。
看下題：
如何證明上題的極限不存在呢？
在這裡，小編要提醒下，所謂的路徑，其實就是一個y與x的關係式。不難給出兩個例子，即當(x,y)沿y=x趨於(0,0)時，極限為1；當(x,y)沿y=2x趨於(0,0)時，極限為4。這就找出了兩條路徑，當(x,y)沿這兩條路徑趨於(0,0)時，極限不相等，因此上題的極限不存在。