如何理解多元函數可微與可偏導的關係?

談到多元函數可微與可偏導時，相信不少人頭皮有點發麻。一元函數中，可微與可導是等價的，但是在多元函數中，可微與可偏導之間的關係就沒那麼簡單了，這是為什麼呢？本文小編將以二元函數為例進行詳細的說明。

1.二元函數的可偏導

在二元函數中，一元函數的可導的概念變為可偏導，導函數的概念變為偏導函數，具體看下例：

二元函數f(x,y)對x、y的偏導函數分別為：

在求二元函數的偏導函數時，都是假設另外一個變量為常量，然後對餘下那個變量求導數。例如，f(x,y)對x的偏導函數，就是假設y為常量，然後f(x,y)對變量x求導數即得。

對於某一點，函數f(x, y)在該點的兩個偏導數可能都存在、可能只存在一個、也可能都不存在。

在點(0, 0)的兩個偏導數隻存在一個的函數例子：

在點(0, 0)的兩個偏導數都不存在的函數例子：

在點(0, 0)的兩個偏導數都存在的函數例子：

對於上面三個例子，小編建議大家親手去算算偏導數，這樣能加深對二元函數偏導數的理解。

2.二元函數的可微

某一點可微描述的是函數增量與自變量增量之間的線性關係。在一元函數中，若線性主部的係數只與該點有關，則可微。以此類推，在二元函數中，若多個自變量的線性主部的係數都只與該點有關，則可微。下面分別列出一元函數、二元函數函數增量與自變量增量之間的關係式：

對於一特定點，當A、B為常數時，即A、B與自變量增量無關，則函數在該點可微，且A、B分別為函數在該點對x、y求偏導後的偏導數。

3.可微、可偏導、連續、導函數連續之間的關係

為了方便比較一元函數，小編先給出一元函數在某點C上關於可微、可導、連續、導函數連續的關係圖。在圖1中，函數f(x)可微與可導等價，因此可微與可導之間是雙向箭頭；在點C可微、可導必能得出函數f(x)在點C連續，但連續不能推出f(x)在點C可導、可微。因此可微、可導與連續之間是單向箭頭。而導函數在點C連續，很明顯就能推出函數在點C可導、可微、連續，但反過來，無法推出導函數在點C連續。

圖1.一元函數可微、可導關係示意圖

小編提醒大家，一定要經常記憶上圖，而且是要理解性地記憶，比如說一元函數可微，要能明白可微是什麼，關係式如何寫！

相比於一元函數，二元函數就複雜多了，下面先給出二元函數可微、可偏導、連續、導函數連續的關係圖。

圖2.多元函數可微、可偏導關係示意圖

當然在記憶這些關係時，我們通常要花時間記憶的是那些不容易理解的關係，而這些不容易理解的關係是與一元函數相比較後的那些不同之處。

3.1可微與可偏導不等價

在闡述二元函數可微與可偏導不等價前，不妨先回顧下，為什麼一元函數中可微與可導是等價的？

在一元函數中，如果函數f(x)在x=x0處可導，則有如下關係式：

假設在一元函數中，函數增量與自變量存在如下關係：

上式兩邊同除以△x，然後兩邊對△x取極限，可知A=m，則根據一元函數可微的定義，A只與x=x0有關，與△x無關，所以f(x)在x=x0可微。同理，不難得出在一元函數中，可微亦可推出可導。

那麼在二元函數中，如何論證可微必可推導呢？

假設二元函數在點C(x0, y0)可微，則由可微的定義，必存在(x0, y0)的某鄰域，使得下式成立：

不妨分別令△x=0、△y=0，根據①式可得：

之所以可以令△x=0、△y=0，是因為點(x0, y0+△y)和(x0+△x, y0)都在點(x0, y0)的可微鄰域內。

對②中兩式求極限，可得:

結合偏導數的定義和③中的兩個極限，可知可微情況下，函數在點C的兩個偏導數都存在，因此可微必可偏導。

儘管可微必可偏導，但反過來不成立，請看下面這個例子：

函數F在(0, 0)的兩個偏導數都存在且為0，現在用反證法證明函數F在點(0, 0)不可微。假設函數F在原點可微，則根據可微定義，下列極限必存在，但是下列極限可以通過列舉兩條路徑很容易驗證不存在，原假設錯誤，所以可偏導不一定可微。

3.2 可偏導不一定連續

在二元函數關係圖中，另外一個很讓人費解的地方，是二元函數在某點的兩個偏導數都存在，但是函數在這一點卻不一定連續。為了說明這一點，請看下面這個函數：

相信大家都能很熟練地計算出函數F在原點對x、y的偏導數均為0，但是當曲線沿著y=x的路徑趨於原點時，函數值會趨於1，不等於0，因此函數F在原點不連續。

從抽象的角度看，二元函數在某一點的兩個偏導數都存在，只能說明二元函數沿x方向、沿y方向趨於該點的值等於函數在該點的定義值，但無法保證沿其它方向趨於該點的值也等於函數值。