難度超高的二元函數微分偏導題!

2020-12-02 別跡無涯

小編無意中看到下面一道難度超高的選擇題，是關於二元函數微分、偏導方面題目，題目內容如下：

大家可以自己試試會不會解這道題目？

小編告訴大家，做抽象類題目時，一定要充分挖掘題幹條件，獲取儘可能多的信息。現在跟隨小編的思路走吧！

題幹說函數f(x,y)可微，那麼從這一點你能想到什麼呢？不賣關子了，函數可微意味著函數在定義域內是連續的，且可偏導的。題幹中又給出函數對y的偏導數小於0，這意味著當x給定時，函數f隨著自變量y遞減。又因為f(0, 0)=0，f(2, 1)>3，可以知道f(0, 1)<0，此時最重要的一步來了，現在對函數f(x, 1)在閉區間[0, 2]上用拉格朗日中值定理，得：

根據上式，以及f(2, 1)>3，f(0, 1)<0，有以下關係式：

因此答案選D。下面給出小編在做這道題時的思路邏輯框架圖。

圖1.解題思路框架圖

在上述解題思路框架圖中，大家可能難以想到的地方有兩處，在標1的地方，小編根據三個條件得出f(0, 1)<0，但是，相信有不少同學會問小編為什麼為想到f(0, 1)這一點，而不是其他的點呢？一個詞——「經驗」，大家想想，當x給定時，f(x,y)關於y遞減，如果從f(2,1)>3/2入手，你能根據這兩個條件得出什麼有意義的結論嗎？顯然不能，所以只能從f(0, 0)=0入手，而且小編告訴大家，題目一般都是從特殊點入手，而零點就是一種特殊點。記下來就很自然了，結合f(0, 0)=0和f(x,y)關於y遞減這兩個條件得出一個關係式，這個關係式又要與f(2, 1)有點關聯，那就只能是f(0, 1)這個點了。

接下來看標2的地方，相信很多同學都想不到會用拉格朗日中值定理，因為拉格朗日中值定理出現在一元函數中，而在二元、多元函數中教材根本就沒有提到拉格朗日中值定理。但是，在特殊情況下，可以將二元函數當作一元函數，此時如果這個特殊的一元函數滿足拉格朗日中值定理條件，就可以運用拉格朗日中值定理，大家想想在標2的地方是不是滿足了一元函數拉格朗日中值定理條件呢？千萬不要禁錮了自己的思想，一定要大膽的開拓思維，同時要經常回顧各個知識模塊。

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    1.理解多元函數的概念，理解二元函數的幾何意義.　　2.了解二元函數的極限與連續的概念以及有界閉區域上連續函數的性質.　　3.理解多元函數偏導數和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性.　　4.理解方向導數與梯度的概念，並掌握其計算方法.
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