晚上好，今天對零零散散的微分中值定理做一個總結。
微分中值定理不是一個定理，而是對羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的總稱，下面分別來看。
一：羅爾定理
設函數f(x)滿足以下條件：
(1)在閉區間[a,b]上連續；
(2)在開區間(a,b)內可導；
(3)在區間兩端點處的函數值相等，即f(a)=f(b).
那麼至少存在一點ε∈(a,b),使得函數在該點處的導數為零，即f'(ε)=0.
通常稱導數等於零的點為函數的駐點（或穩定點、臨界點）。
看起來條件很多，但其實畫個圖全都明白了，請看：
請看圖中，那個點ε1和點ε2，過這兩點的切線的斜率為0（也就是平行於x軸），所以函數在這兩點的導數為零。
二：拉格朗日中值定理
這是一個非常非常重要的定理，可以說是微分中值定理中最重要的了，因為其他定理都是由它推出來的！
定理的具體內容是這樣的：
設函數f(x)滿足以下條件：
(1)在閉區間[a,b]上連續；
(2)在開區間(a,b)內可導；
則至少有一點ε∈(a,b),使得不等式f(b)-f(a)=f'(ε)(b-a)或
f'(ε)=f(b)-f(a)/b-a成立。
可以看到，當f(a)=f(b)時，本定理的結論即為羅爾定理的結論，這表明羅爾定理是拉格朗日中值定理的一個特殊情形。
關於這個定理，真的要大寫特寫一番了，請看一道證明題吧：
證明：當x>0時，1/1+x < ln(1+x) - lnx < 1/x.
這是證明過程~~~： 函數f(x)=lnx在區間[x,1+x]上滿足拉格朗日中值定理的條件，所以有：f(1+x)-f(x)=ln(1+x)-lnx=f'(ε)(1+x-x)=1/ε, 其中,ε∈(x,1+x),而，又因為：x<ε<1+x,所以有：1/1+x < 1/ε < 1/x,從而得證：
1/1+x < ln(1+x) - lnx < 1/x。
三：柯西中值定理
如果函數f(x)，F(x)在閉區間[a,b]上連續，在開區間(a,b)內可導，且F'(x)不等於0，那麼至少有一點ε∈(a,b),使得等式
成立。
這就是今天的內容，好累，晚安