中值定理適用於任何連續且可微分的函數，下圖任意曲線f(x)，我們寫出這些端點的坐標，這將是(a,f(a)),(b,f(b)).
中值定理是說，對於這樣的任意曲線，在a和b之間必有一個數字c使得該點的切線斜率等於連接a和b線段的斜率，a,b之間的連線稱之為割線，斜率對應的切線是有割線的上升演化而來，所以它位於與割線平行的曲線上，下圖的曲線只有一個向下的凹面（你也可以理解為向上的凸面）
我們來看一個既有凹面也有凸面的連續曲線，根據上面的理論，你很容易想到凹凸曲線上各存在一點，經過它們的切線均都平行於連接a,b的割線。
這個事實具有各種應用：如果曲線是一個位置函數曲線，則導數將是它的速度，這也就意味著位移曲線上至少有一點的瞬時速度有該點的導數或者起始點之間連線的斜率給出。
或者你可以理解為：曲線上至少有一點的瞬時速度必須等於由割線斜率給出的平均速度
開動你的發散思維：微積分中值定理允許我們計算任意連續函數面積下的平均值：如下我們取從a到b的間隔乘以函數的積分，都知道這個積分就是對應的曲線下的面積，根據已有的牛頓-萊布尼茲公式a到b的函數的積分就是F(b)-F(a)。且曲線上必存在一點c使得如下等式成立
前面又介紹了曲線上必存在一點，該點的切線斜率等於任意兩點的割線的斜率，那麼這兩者又有什麼關係的，其實它們說的都是同一個意思，當然他們可不是等價的關係哦
首先微積分中值定理得出來的是一個f(c),很明顯它的幾何意義就是f(c)和a,b圍成的矩形面積，等於這個被積函數曲線下的面積。
我們舉個例子，曲線是y=1+x^2，取任意線段-1,2之間的積分中值定理就是，y=2下的矩形面積等於曲線下的面積
我們由此也推出y=2與y=1+x^2之間的兩部分面積也是相等的（黃色部分）。你有沒有注意到呢？
因此在這兩個版本的中值定理中，我們以兩種不同的方式描述了在一個區間內的一個函數，一個通過微分，一個通過積分來闡述它們對應的中值定理。
數學是美好的，但需要的是你敏銳的洞察力和直覺思維，並不僅僅依靠你的邏輯思維。