關於正餘弦定理的推導

2020-12-05 另一座數學城堡

關於正餘弦定理的推導

數學城堡

今天數學城堡帶著大家來一起推導一下正餘弦定理，餘弦定理很簡單一步帶過只需要利用向量，最後兩邊平方即可，詳見電子稿證明

下面我們主要來證明正弦定理

如果這個三角形是直角三角形，正弦定理很明顯成立，下面證明其他情況也符合正弦定理

我給大家一個 圓O ，這個圓呢有一個弦 AB，這個 AB對的圓周角呢是角ACB ，一條弦對應的兩類圓周角如圖所示，角1+角2=180度，其正弦值相等！

不妨設角ACB為銳角，我們都知道，無論這個C在這個圓上怎麼動，它的大小是不變的。那我們將這個 C運動到 AC是直徑的情況。好，重點來了，這個時候的三角形ABC 是以B為直角的直角三角形，故有：

sinC= AB/AC,即AB/sinC=AC

那我們得到了，只要我們有一個定圓，它的任意一個弦比上它對應的圓周角的正弦值為圓的直徑！又有任意一個三角形都有一個外接圓，所以正弦定理是成立的，關於為什麼任意一個三角形都有一個外接圓，這個的證明留給讀者，也十分簡單.

附上證明過程的電子版

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