餘弦定理的定義公式及證明方法

2020-11-22 高考網

餘弦定理的定義公式及證明方法

很多還沒有學到餘弦定理的同學們不知道什麼是餘弦定理，但是餘弦定理在很多題目的解答上都很簡便，有些題目如果同學們用餘弦定理解答會節約很多時間，今天有途網小編就來給大家講解一下餘弦定理。

三角形任何一邊的平方等於其他兩邊平方的和減去這兩邊與他們夾角的餘弦的積的兩倍。

即在三角形ABC中,已知AB=c,BC=a,CA=b,則有：

a?=b?+c?-2bccosA

b?=a?+c?-2accosB

c?=a?+b?-2abcosC

在任意△ABC中，做AD⊥BC.

∠C所對的邊為c，∠B所對的邊為b，∠A所對的邊為a

則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

根據勾股定理可得：

AC2=AD2+DC2

b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2

b2=(sinB*c)2+a2-2ac*cosB+(cosB*c)2

b2=(sinB^2+cosB^2)*c2-2ac*cosB+a2

b2=c2+a2-2ac*cosB

餘弦定理是解三角形中的一個重要定理，可應用於以下兩種需求：

當已知三角形的兩邊及其夾角，可由余弦定理得出已知角的對邊。

當已知三角形的三邊，可以由余弦定理得到三角形的三個內角。

如果知道了三角形的兩邊及其夾角，可由余弦定理得出已知角的對邊。

餘弦定理是勾股定理的推廣，它和勾股定理一樣，都有著很多不同的證明。以上就是有途網小編整理的《餘弦定理的定義公式及證明方法》希望對你有用。

推薦閱讀：

相關焦點

  • 餘弦定理的多種證明方法
    大家好，今天我們來看看餘弦定理的證明方法，有好多種，我試試看今天能寫多少種？餘弦定理：指三角形任何一邊的平方等於其他兩邊平方的和減去這兩邊與他們夾角的餘弦的積的兩倍。平面直角坐標系，利用兩點距離公式證明方法 ④
  • 餘弦定理的證明方法大全
    餘弦定理定理證明
  • 正弦定理和餘弦定理的證明過程匯總和適用的條件
    正弦定理在各個三角形中的證明過程正弦定理適用於任何的三角形中，而三角形可以分為三類，即直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形。在直角三角形中的證明過程也是必修5中證明的過程。正弦定理的拓展根據正弦定理變形可以推出：sinA:sinB:sinC=a:b:c正弦定理公式的拓展：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，R是三角形的外接圓半徑；三角形的面積S△=1/2acsinB=1/2absinC=1/2bcsinA。
  • 正弦定理、餘弦定理
    用另外一種方法來證明：作△ABC的外接圓，圓心為點O.餘弦定理（Law of Cosines）三角形中任何一邊的平方 = 其它兩邊的平方和減去這兩邊與它們的夾角的餘弦的積的兩倍。 – b)= a·a + b·b – 2a·b= a2 + b2 – 2ab · cosC 從餘弦定理
  • 乾貨|解三角形之餘弦定理證明
    1．對餘弦定理的四點說明(1)勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關係，餘弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關係，餘弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是餘弦定理的特例(1)已知兩邊及其中一邊的對角解三角形的方法①先由正弦定理求出另一條邊所對的角，用三角形的內角和定理求出第三個角，再用正弦定理求出第三邊，要注意判斷解的情況；②用餘弦定理列出關於第三邊的等量關係建立方程
  • 兩角和與差的餘弦公式的五種推導方法之對比(高中數學)
    對於不同版本的教材採用的方法往往不同，認真體會各種不同的兩角和與差的餘弦公式的推導方法，對於提高學生的分析問題、提出問題、研究問題、解決問題的能力有很大的作用.下面將兩角和與差的餘弦公式的五種常見推導方法歸納如下：方法一：應用三角函數線推導差角公式的方法設角α的終邊與單位圓的交點為P1，∠POP1＝β，則∠POx＝α－β．
  • 三角公式和定理的證明
    目前，下面有 16 篇關於三角函數的公式和定理的文章。想要閱讀哪篇文章，你只需點擊該文章的標題，即可進入閱讀。有什麼問題，可以留言。個基本公式的證明③【數學袋鼠】(7)三角函數14個基本公式的證明④【數學袋鼠】(8)三角函數14個基本公式的證明⑤
  • 餘弦定理配面積公式,三個步驟出答案
    這個題沒有明確信號用什麼方法，看起來信息還是比較少，所以呢從問題入手，分式通分後會發現一個平方關係式，這裡的話就很自然想到是不是可以試一試餘弦定理，路子還挺順的哈，再結合BC邊上的高和面積公式，就有了輔助角公式的用武之地了
  • 3分鐘,搞懂餘弦定理
    餘弦定理是什麼？餘弦定理可以理解為是勾股定理在一般三角形中的擴展。勾股定理解決直角三角形的邊關係問題，餘弦定理則解決所有三角形的邊角關係問題。所以餘弦定理公式也是在勾股定理的基礎上，增加了角度要素而成。
  • 淺談「兩角差的餘弦公式」之推導
    「兩角差的餘弦公式」在推導過程中具有重要的教育價值，蘊涵著換一個角度看問題的轉換思想，是數學家創造發明的法寶，也是我們進行再發現、再創造活動的探索方式。本文針對 「兩角差的餘弦公式的推導」章節進行學習，分析並推導兩角差的餘弦公式，實踐檢驗。筆者在近年來的各省數學高考試卷中發現，經常會出現考查數學教材中相關公式或定理的證明試題，比如證明兩角和的餘弦公式及餘弦定理等等。
  • 衝刺2018年高考數學,典型例題分析23:餘弦定理和正弦定理
    考點分析：餘弦定理；正弦定理．題幹分析：（Ⅰ） 在△APC中，由余弦定理得AP2﹣4AP+4=0，解得AP=2，可得△APC是等邊三角形，即可得解．（Ⅱ） 法1：由已知可求∠APB=120°．利用三角形面積公式可求PB=3．進而利用餘弦定理可求AB，在△APB中，由正弦定理可求sin∠BAP的值．
  • 正弦定理的證明
    在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c則這個定理叫正弦定理，我想大家都認識吧。不過，突然之間，讓你證明一下這個定理，恐怕不少人要抓瞎。得稍微定定神，才能想起來怎麼證明。證法一：利用三角形面積公式數學佬一般上課都是這樣證明的，因為這樣的證明有一個額外的好處，就是順理成章推出了三角形的面積公式
  • 高中數學,學會巧湊餘弦定理公式,做題又快又輕鬆
    上面這三個公式，是餘弦定理的變形公式，根據這個公式的特點進行設計題目是各種考試的一個出題方向，一般使用它們來求三角形的內角，研究透它們的特點將為咱們快速解題打下堅實的基礎。公式的主要特點有：等式右邊是一個分式，分子是三角形兩條邊的平方和減去第三條邊的平方，這個第三條邊是左邊角的對邊；分母是除第三條邊之外的兩條邊的乘積的2倍。下面咱們講兩道例題，探討如何湊出上面這三個餘弦定理變形公式。
  • 一般三角形中的正弦定理和餘弦定理
    最初學習的三角函數是在直角三角形中為了表示邊長之間的關係而定義的。後來隨著角度定義的擴展，三角函數的定義範圍也擴充了，將其角度擴展到了任意2角。現在我們利用三角函數作為工具來分析一般的三角形。一般三角形的正弦定理在一般形狀的三角形ABC中的其中一個頂點向對邊作垂線，可形成兩個直角三角形，在這兩個三角形中，根據直角三角形中斜邊與直角邊的關係，可得這就是一般三角形中的正弦定理，它表示了邊和對角之間的比例關係。
  • 2018初中數學公式之餘弦定理
    下面是《2018初中數學公式之餘弦定理》，僅供參考！ 　　餘弦定理 b2=a2+c2-2accosB 註：角 B 是邊 a 和邊 c 的夾角 　　 歡迎使用手機、平板等行動裝置訪問中考網，2020中考一路陪伴同行！
  • 三角函數的任督二脈:和角公式的多種證明方法
    在上一篇文章中，我曾提到：「整個三角學是由一個勾股定理（畢達哥拉斯定理）、六個定義（sin、cos等）、一個定律（餘弦定律）以及一個公式（和角公式）所推演出來的數學體系，餘弦定律尤其重要。」很多人會疑問：三角函數有那麼多公式，為何只提到一個「和角公式」呢？答案是：在所有的三角函數公式中，「和角公式」是基石。
  • 2018初中數學公式之勾股定理的證明和逆定理
    下面是《2018初中數學公式之勾股定理的證明和逆定理》，僅供參考！ 　　一、傳說中畢達哥拉斯的證法   　　左邊的正方形是由1個邊長為的正方形和1個邊長為的正方形以及4個直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。右邊的正方形是由1個邊長為的正方形和4個直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。
  • 解三角形除了正餘弦定理,還可以用射影定理
    第一問很自然先想到正弦定理，發現可以接著利用和角公式化簡，得到sinB＝sin(A-B)，這個地方要注意角的範圍(0，π)，B與(A-B)兩角關係一是相等，二是互補，其中一種情況不符合題意捨去。方法2利用餘弦定理稍顯複雜，主要原因是利用餘弦定理直接看不出方向，能想到用餘弦二倍角公式還是不容易的，而且要得到cosA=cos2B這個等量關係，推導過程計算是有點麻煩的，其實也就是有從結論入手反推，總之，這條路肯定行得通，但是不建議大家採用從射影定理入手，額~~~慢慢算吧做題就像回家
  • 2021初中七年級數學必備公式:餘弦定理
    中考網整理了關於2021初中七年級數學必備公式：餘弦定理，希望對同學們有所幫助，僅供參考。 　　餘弦定理 　　b2=a2+c2-2accosB 註：角B是邊a和邊c的夾角 　　相關推薦： 　　2021年全國各省市中考報名時間匯總 　　2021年全國各地中考體育考試方案匯總 　　2021年全國各省市中考時間匯總   關注中考網微信公眾號
  • 高中數學,餘弦定理的詳細使用方法,掌握了做題速度特快
    從餘弦定理的公式可以看出它有如下特點：（1）等號左側的邊和等號右側的角是對邊對角的關係，即左邊是a，右邊的角必定是其對角A，反過來也一樣，即右邊使用的角是B，則左邊的邊必定是其對邊b；（2）餘弦定理公式中共有4個量（3個邊長和1個角），給出任意3個可以求出剩餘的量，具體來說，它可以用於兩種計算