正弦定理的證明

2021-03-01 數學佬

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一個在高中非常常見、非常簡單的定理。

在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c則

這個定理叫正弦定理，我想大家都認識吧。

不過，突然之間，讓你證明一下這個定理，恐怕不少人要抓瞎。得稍微定定神，才能想起來怎麼證明。

證法一：利用三角形面積公式

數學佬一般上課都是這樣證明的，因為這樣的證明有一個額外的好處，就是順理成章推出了三角形的面積公式。

如果僅僅從證明的角度看，上面的推導顯然太囉嗦了，因為實際上我們只用到了高，而不需要面積。

證法二：利用高

這樣超級簡潔，數學佬很喜歡。

證法三：利用外接圓。

這個證法的好處是，不僅證明了正弦定理，還得到了值2R，而這個推論在三角形變換中事實上非常方便。

證法四、利用向量。

自從學習了向量，習慣性地用向量的思想去處理以前學習過的知識，本證法即是這個動作的產物，但是，這個證法是不完善的，因為向量i的方向實際上有兩個(限於平面)，三角形也可能是鈍角也可能是銳角。因此需要比較繁瑣地分類討論一番。

從證明的角度看，向量法並不是一個簡潔而漂亮的方法。

證法五：利用三角恆等變換。

變換有點眼花繚亂，數學佬是不喜歡的，沒必要搞辣麼複雜，又不體現什麼厲害的數學思想。

秀計算技巧，我的讀者中有的是人才，你也可以寫一個證明出來玩哈。

說到正弦定理，不如一起把餘弦定理也給提提。

餘弦定理的證明，也有許多許多方法。數學佬最喜歡的，莫過於向量法和解析幾何法了。

證法一：利用向量

搞定！簡潔而且漂亮，而且高大上。

證法二：利用兩點間距離公式

搞定！second，簡潔且漂亮，而且高大上。

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