三角函數的任督二脈:和角公式的多種證明方法

很多人覺得三角學難學，其中一點就是三角函數中的公式太多。

在上一篇文章中，我曾提到：「整個三角學是由一個勾股定理（畢達哥拉斯定理）、六個定義（sin、cos等）、一個定律（餘弦定律）以及一個公式（和角公式）所推演出來的數學體系，餘弦定律尤其重要。」很多人會疑問：三角函數有那麼多公式，為何只提到一個「和角公式」呢？答案是：在所有的三角函數公式中，「和角公式」是基石。如果你理解了「和角公式」的推導和證明，就相當於打通了三角函數的任督二脈，其他的三角函數公式都不再是什麼難事。

所謂的「和角公式」主要是指正弦的和角公式，即：

sin(α＋β) ＝sinαcosβ＋cosαsinβ

看起來有點複雜，下面我通過不同的角度和方法來證明這個重要的和角公式。

證明方法一：經典方法。

從上圖可以知道，sinα＝CB/AC，sinβ＝DC/AD； cosα＝AB/AC，cosβ＝AC/AD；sin(α＋β)＝DE/AD。

進一步推出：CB＝AC·sinα＝AD·cosβ·sinα。

從上圖可以得到：cosα＝CF/CD。

進一步推出：CF＝CD·cosα＝AD·sinβ·cosα。

又因為CF＋CB＝FB＝DE＝AD·sin(α＋β)＝AD·cosβ·sinα＋AD·sinβ·cosα。

於是得到：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ。

用這個方法還可以進一步推出「差角公式」，讀者自己去嘗試一下吧！

證明方法二：面積法。

從上圖可以得到：sinα＝BC/AB，sinβ＝DC/AC； cosα＝AC/AB，cosβ＝AC/AD。

推出：BC＝AB·sinα，CD＝AC·sinβ，AC＝AB·cosα＝AD·cosβ。

左邊三角形的面積（△ABC）＝(1/2)·BC·AC＝AB·AD·sinαcosβ；

右邊三角形的面積（△ACD）＝(1/2)·CD·AC＝AB·AC·cosαsinβ；

整個三角形的面積（△ABD）＝(1/2)·AB·AD·sin(α＋β)；

於是可以得到：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ。

證明方法三：鋪磚法。

構造兩個斜邊都是1的三角形，如下圖所示：

    用兩組上面的三角形，經過拼接可得：

顯而易見，空白部分的面積＝sinαcosβ＋cosαsinβ。

接著，我們還是用這樣兩組三角形，按照下面的圖形進行拼接：

顯而易見，空白部分的面積＝1·h＝1·sin(α＋β)＝sin(α＋β)。

綜上，我們再一次可以得到：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ。

證明方法四：外接圓法。

在三角形ABC外面作一個外接圓，假設圓半徑r為1/2。如下圖所示：

上圖可知，AH＝(1/2)·sinγ；推出AB＝sinγ。同理可得：AC＝sinβ；BC＝sinα。

從C點作一條AB的垂線CF，可以得到：

sinγ＝sin[180°－(α＋β)]＝sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ。

 

用四種不同的證明方法，從四個不同的視角，我們得到了同樣的答案，就是著名的正弦和角公式：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ。用這幾種方法，我們還能延伸出餘弦和角公式、差角公式等一系列的三角函數公式。

我想，經過這樣的推導，這輩子你要忘記這個公式似乎都不是一件容易的事情了，三角函數的其他公式易如反掌！