高中數學三角函數公式快速記:倍角公式和半角公式輕鬆掌握有方法

2020-12-06 思維人格呂士申

在掌握了三角函數兩角和差公式之後，我們可以根據兩角和差公式，輕易地掌握三角函數倍角公式和半角公式。

如果還沒有掌握兩角和差公式，可以先參看相關的內容，待掌握後再進行下面的環節，否則效果不佳。

高中數學三角函數公式輕鬆記：正弦餘弦的兩角和差公式「口訣」記

上面是介紹的正弦和餘弦的兩角和差公式如何熟記，主要是應用口訣「正異同，餘同異」快速掌握。

高中數學三角函數公式輕鬆記：正切餘切兩角和差公式的推導與記憶

上面是介紹正切和餘切的兩角和差公式如何推導及快速記憶之法。

在這些熟練掌握後，我們就能很輕易地掌握和運用倍角公式和半角公式了。

三角函數二倍角公式

三角函數二倍角公式

在三角函數加法公式（即兩角和差公式）中我們學習的是有兩個角，其中一個用α表示，另一個用β表示。

當我們現在用來記二倍角公式時，也就是一個角的2倍，而一個角的兩倍就是這個角和自己相加的結果。

所以我們把兩角和差公式中的兩個不同角變為相同的角時，兩角和差公式也就成了二倍角公式。

比如sin(α+β)當α=β時，sin(α+β)=sin2α=sin2β，後者不就是二倍角嗎？

所以只要掌握了三角函數的兩角和差公式，我們把公式中的不同的兩個角當作相同的角時就直接可以寫出二倍角公式了。

sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα.

同理可以寫出其他形式的三角函數的二倍角公式，大家不妨自己寫一下看看。

這裡要提示下的是餘弦的二倍角公式在寫出後，然後利用sinα+cosα=1這個關係式，又可以推導出兩個公式。

比如cos2α=cos(α＋α)根據口訣「餘同異」，可以直接寫出餘弦的兩角和的公式如下：

cos2α=cos(α＋α)=cosαcosα-sinαsinα=cosα-sinα.①

根據sinα+cosα=1，可以分別得出 sinα=1-cosα和cosα=1-sinα。

分別代入①式就可以得出餘弦的二倍角公式的另外兩個常用的公式表達式了。

二倍角公式上面是推理來的，如果不推理，也可以利用前面介紹的方法通過觀察找特點直接寫出公式。

比如sin2α,這是正弦，按照「正異同」知道其公式展開式中的每一項都是相異的同組組成的，所以每一項都是sinαcosα,這樣看到正弦可以直接寫出此項，然後前面加個2就可以了。（想想為什麼）

再看cos2α,根據口訣「餘同異」，可以直接寫出cosα-sinα.

三角函數半角公式

三角函數半角公式

這裡的tg也就是tan,是正切；ctg也就是cot,是餘切。不過現在教材更多採用的是tan和cot來表示正切和餘切。

可能大家一看公式，感覺很複雜，不好記。

其實這些公式都是來自於餘弦的兩角和差公式。

餘弦的兩角和差公式，當我們把兩個不同的角當作相同的角看待時就變成了餘弦的二倍角公式。

其中一個是：cos2α=2cosα-1 ②

另一個是： cos2α=1-2sinα ③

為何採用餘弦的二倍角公式而不是正弦的二倍角公式？

原因就在於正弦的二倍角公式等式右面不知一個三角函數，而是同組的相異的兩個三角函數。

我們現在觀察②式，發現等號左邊的角是 2α，等號右邊的角是 α，有沒有發現什麼特點？

右面的角是左邊的角的一半！

③式也同樣如此。

也就是說等式左邊的角是右邊的2倍，所以是二倍角公式。

從右邊的角的角度來看，右邊的角是左邊的角的一半，豈不就是半角公式嗎？

當然根據公式的常用表示法，一般展開式在右邊，所以我們需要把半角放在等式的左邊。由此有：

③式變換為 2cosα-1 =cos2α → 2cosα=1+cos2α → cosα=（1+cos2α）/2,

然後開方就可以得到公式的形式。（切記：開平方結果有兩個，一正一負，具體選擇哪個符號，還是取決半角函數的符號）

餘弦的半角公式

為了符合我們一般的習慣，我們不用α表示半角，而是用α/2表示，所以2α也對應變成了α。

所以餘弦的二倍角公式，因而變為：

根據這個式子可以得出三角函數的降冪公式，只需要再變化下即可。這個不再展開論述。

這個方法也就是比較等式兩邊的角的關係，然後由一邊的角表示另一邊，這樣就可以得到不同的公式，不過從根源上看還都是一個公式的變化而已。

如果沒有掌握這個特點，很可能會為公式繁多而憂慮，並且還很容易遺忘或記混淆。

思路：餘弦的兩角和差公式 → 二倍角公式（令兩角相等）→ 半角公式（比較等式兩邊角的關係） → 降冪公式。

如：

三角函數降冪公式

由於這裡是介紹公式記憶和方法的，所以不再論述不同公式如何使用以及在具體題目中我們應該如何根據題目條件和要求確定用哪個公式。

正切和餘切的半角公式，也是先用正弦除以餘弦公式，然後將對應的正弦和餘弦的半角公式代入，最後採用分子有理化或分母有理化而分別得到兩個去除根式的公式表達形式。（無論是根式中分子或分母中的1+cosα還是1-cosα,都是採用構成1-cosα的形式進行分母或分子有理化的，因為這樣就是sinα,可以直接開出來了。這也是平方差公式的逆運用。）

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