三角形的面積是相鄰兩邊以及它們夾角正弦值三者乘積的一半。如下圖，這是三角形面積的另外一個計算公式。下圖最後一個結論，在直角三角形中，直角是∠C。
全等三角形的判定有一個判定簡稱為SAS，也就說一個三角形只要兩邊以及它們的夾角是一定的，這個三角形形狀就不會改變，否則無法判定全等；既然這個前提下三角形形狀不變，則其面積不變，並且與這三個量有關。
下面我們先來證明這個公式。證明之前聲明一點，三角形兩邊的夾角可以是銳角、直角或者鈍角，高中階段學習了任意角的三角函數後，就會了解到不是銳角的角也有三角函數，到時可以同樣證明；本文為了在初中範圍內證明這個結論，只證明夾角是銳角的情形，如下：
同理，我們容易得到下面類似的結論：
平行四邊形的面積等於相鄰兩邊與夾角正弦值三者的乘積。
平行四邊形這個面積公式的推導，可以同上面三角形面積的推導一樣，通過平行四邊形一邊上的高與另一邊以及夾角的關係；也可以作平行四邊形的一條對角線，將平行四邊形割成兩個全等的三角形，然後利用上面三角形面積公式，容易得到結論。同學們不妨一試。
在【數理之路】初中範圍推導三角函數倍角正弦公式中，我們通過構造圖形，推導出三角函數的相關公式，下面我們將用同樣的方法，構造圖形推導三角函數另外的一個公式，雖然公式適用於任意角，但同樣只在初中範圍內推導。我們要推導的公式是
結合銳角三角函數的定義，當直角三角形的斜邊為1時，兩條直角邊可以用直角三角形某個銳角的正弦和餘弦表示。為此我們特意構造兩個斜邊均為1的直角三角形，兩條直角邊所在的直線是同一條，並且一個頂點重合，如圖：
不妨設 AC<AE，（AC>AE 同理可證；AC=AE 時，∆ABD為等腰三角形，情況顯然，我們在文末再加以說明。）
AB=AD=1，∠ACB=∠AED=90°，
∠CAB=α，∠EAD=β，
則 AC=cosα，BC=sinα，
AE=cosβ，DE=sinβ，
由該圖聯想到 sin（α+β）、sinαcosβ、cosαsinβ 的面積意義，可連接BD、CD、BE，其中BD與AE交點為F，α+β 為銳角；
由上面推導的三角形面積公式，容易得到：
另一方面：
因此只要能夠證明 S∆ABD=S∆AEB+S∆ACD ①，
即可證明 sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ 。
①式成立，只需S∆BEF=S∆CDF 即可。
由 ∠ACB=∠AED=90°，
可得 CB∥ED，
故S∆BCE=S∆BCD，
從而 S∆BEF=S∆CDF，
因此 sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ 證畢。
最後，我們證明 AC=AE 時，∆ABD為等腰三角形 的情形，也算是對【數理之路】初中範圍推導三角函數倍角正弦公式中構造等腰三角形的一種補充證明。
當 AC=AE 時，α=β，
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
即 sin2α=2sinαcosα，
此時 ∠BAD=α+β=2α，
又 S∆ABD=2S∆ABC，
得
即
故 sin2α=2sinαcosα 證畢。
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