數學分析|第六章 微分中值定理及其應用--函數在無限區間上二階可導且有界推出某點二階導數值為0真題總結

摘要：  函數在無限區間上二次可導且有界，可推出某點二階導函數值為0，但是大家一定要注意例1的證明方法和例3在細節處理上還是稍微有些不同，對於例3，要首先能夠想到利用廣義羅爾定理，找到某點導數值為0作為突破口。

拉格朗日中值定理回顧

若函數
（Ⅰ）在
（Ⅱ）在
則在

總結：
很多時候我們需要寫成

應用：

則當

進一步轉化為

函數在無限區間上二階可導且有界推出某點二階導數值為0真題總結

【例1】.(2020西安電子科技大學、2020西南交通大學、2011江蘇大學、2007北京理工大學、2010首都師範大學、武漢大學、第六章微分中值定理及其應用總練習題最後一題 )
設函數

使得

分析：
看到此題，會想到利用反證法，因為反證的時候，只有兩種可能，一種是

另一種是

當然有些同學會說有第三種情況呀，有可能存在二階導既大於0，又小於0，即

這種是不可能的，因為二階導函數可以看成是導函數

下面我們對二階導恆大於0和恆小於0進行分析，此時可以跟導函數增減建立聯繫。
1.當二階導恆大於0時，即

此時可得
此時大家不用過分糾結

若

此時可得

即

若

此時可得

即

此時可得當

2.當二階導恆小於0時，即

按照上面相同的方法可得此時也矛盾。
下面寫下具體步驟。
證明：
反證法。
若不存在

使得

此時可得二階導
若存在二階導函數值既大於0，又小於0，則根據導函數的介值定理可得必存在

使得

1.當二階導恆大於0時，即

此時可得
則必存在一點

若

此時可得

即

若

此時可得

即

此時可得當

2.當二階導恆小於0時，即

按照上面相同的方法可得此時也矛盾。
綜上可證。
總結：
1.大家注意哦，其實當二階導

2.有些同學可能會問，函數
並不一定哦，比如令

此時可得
【例2】.(2008西安交通大學)
設函數

存在，證明：存在

使得

分析：
此題根據

存在，可以推出來
【例3】.(2008安徽大學、山東大學、中國人民大學)
設函數

證明：存在

分析：
有些同學看到這個題，會說簡單，跟例2思路一樣，先證明有界，然後參考例1方法即可。
但是大家要注意哦，這樣說是有問題的，因為例1和例2研究的區間是

肯定有同學會說能有啥區別，好吧，那我們試著按照例1方法去證明一下，看下哪地方會出現問題。
根據條件

可以得到

此時仿照例1解法，只有兩種可能。一種是

另一種是

1.當二階導恆大於0時，即

此時可得

若

此時可得

即

此時我們知道上面這些都是沒有問題的，下面就會不太一樣啦，大家一定要注意看哦。
若

此時可得

即

此時大家注意哦，此時
那麼問題來了，這道題應該怎麼解決呢？
大家一定要保持敏感哦，看到條件

想到利用巖寶數學考研 第六章 微分中值定理及其應用--羅爾定理證明推廣應用裡面的廣義羅爾定理。此時可存在一點
下面詳細寫一下具體步驟。
證明：
由條件

可得存在一點

使得

（上面的證明其實就是廣義羅爾定理的證明過程，這裡不再書寫，考試時候大家是一定要去證明的）
下面反證法去證明。
若不存在

使得

此時可得二階導
若存在二階導函數值既大於0，又小於0，則根據導函數的介值定理可得必存在

使得

1.當二階導恆大於0時，即

此時可得
又因為

則必存在一點

則當

此時可得

即

此時可得當

2.當二階導恆小於0時，即

按照上面相同的方法可得此時也矛盾。
綜上可證。