偉大的無產階級革命導師馬克思認為，理論研究是為了實踐需要。數學理論的提出和發展，總是有實際問題作為原始的推動力。比如，物理上，變力做功問題如何解決？幾何上，很多特殊的平面圖像的都有相應的面積公式，大家熟悉的矩形，平行四邊形，梯形等。如果現在把梯形的一條邊變成曲線，那如何求曲邊梯形的面積？
圍繞上述的幾何實際問題，整個第九章的理論就變得有血有肉，不再顯得空洞抽象。沒有公式，於是，立即創造曲邊梯形的面積公式！這也是數學強大生命力的具體表現。
同學們首先要明確問題本身的提法：設函數f在[a,b]上非負連續，計算由x=a,x=b，y=f(x)以及y=0(即x軸)所圍成的封閉圖形的面積！下面給出定積分的嚴格的分析定義。
對於注1中的極限式（4），同學們從以下四個角度深化理解：
1 很多高等數學的教材中簡化了定積分的定義，把（4）式中的‖T‖→0，而直接寫成n→∞去替代。公共數學的角度這樣是可以的，但作為數學專業，我們必須明確，這種替代是不嚴謹的，因為n→∞時不能保證‖T‖→0，而‖T‖→0時必定同時有n→∞。
2 極限（4）的存在，與分割T的形式無關，與點集{克森i}的選擇也無關。唯一重要的是分割的細度‖T‖，當‖T‖足夠小時，總能使積分和（也稱黎曼和）與某一確定的數J無限接近。反之，如果能構造出兩個不同方式的積分和，使它們的極限不相同，那麼就可斷言該函數在所論區間上是不可積的。例如狄利克雷函數D(x)分別取有理點和無理點，得到的黎曼和不同，所以D(x)在［0，1］上不可積。
3 如果已知函數f在[a,b]上可積，那麼對於每個特殊的分割T，以及點集{克森i}的每種特殊選擇，所得的那個積分和，當‖T‖→0時必以f（x）在[a,b]上的定積分值為極限.
4 定積分作為積分和的極限值，如果存在，則唯一。故它的值只與被積函數
f以及積分區間［a，b］本身有關，而與積分變量所用的文字無關，即
定積分的定義是分析中較複雜的一個定義，理解了它，就理解了幾乎整個積分家族（尤其是重積分，第一型線積分，第一型面積分）。而如果用定義去計算曲邊梯形的面積，顯然是不現實的，我們需要牛萊(Newton-Leibnitsz,簡記為NL)公式！
同學們對牛萊公式比較熟悉，而往往是我們熟悉的人或事，卻常常會忽略ta的美和特質!原本要解決的是，曲邊梯形的面積問題，即函數在整個閉區間[a,b]上的積分，而牛頓和萊布尼茨卻把這個問題歸結為閉區間的邊界，即兩個端點處的問題。NL公式是最人類偉大的公式，沒有之一（只是個人主觀評價哦）！而下冊的格林、高斯公式都是NL公式的高維形式（後面詳談）！
定理9.1的條件實際上是比較強的，教材也給出了詳細的削弱,大表哥列舉部分。
注2告訴我們，可將連續削弱為可積，那麼問題又自然而然地來了，函數f在什麼條件下是可積的？於是緊接著討論可積條件！
大表哥這裡順帶科普下數學的一個套路。數學上討論某對象存在的條件，即考慮它存在的充分條件，必要條件，充要條件！比如第二章討論數列極限存在的條件（充分條件：單調有界；必要條件：極限唯一；充要條件：柯西收斂準則），第三章討論函數極限存在的條件等等都是如此！
可積的必要條件有：
可積的一個必要條件和三大充分條件都是比較好操作的，因為函數的單調性、有界性、連續性都是容易驗證的。例如下面的分段函數是單調遞增的，從而在[0,1]上可積。
但理論上，數學家們更喜歡充要條件！
可積的充要條件：
這些充要條件的證明，技術難度較大，要藉助達布上和下和以及相應的性質才能完成！如果你的目標院校是985、及部分211（數學有博士點的），請同學們複習的時候認真琢磨充要條件的結論本身及證明過程！當然，還有必要條件、充分條件的結論本身及證明過程！這些理論都是典型的分析語言、分析模式、分析套路，是個人段位提升的最好訓練營地！
教材上再次涉及到了黎曼函數，請同學們務必給予黎曼函數高度重視！如下
黎曼函數在［0，1］上可積，然而並不能通過簡單地驗證單調性、有界性、連續性（可積的三大充分條件）加以證明，需要用可積準則證明。
例3的難度，達到了考研證明題20分的標準，請同學們仔細體會證明中如何找到分割T的細度‖T‖,尤其把握m小於等於2k這個細節！
黎曼函數在［0，1］上可積，並的例子在分析中有重要作用，說明可積函數也可以有無限多個不連續點。
如果我們的思維再研究生一點，把上述例子一般化，考慮這麼一個問題:一個有界函數在［a，b］上所具有的間斷點究竟多到何種程度時，會導致它的積分不存在！這也為後繼課程實變函數（實分析）中引入「勒貝格測度（Lebesgue Measure）」埋下了伏筆。大表哥嘗試用可積第三充要條件來解釋,
即如果f在［a，b］上的所有間斷點放在一起，其總長度小於任意小的開區間的長度，則f在［a，b］是不可積的。同學們可對比照狄利克雷函數與黎曼函數的可積性來加以體會。
大表哥囉嗦下，數學分析複習到第九章，你應該有點知覺了，盤點下重要的、大的結論：數列極限存在的單調有界原理、柯西收斂準則、函數極限的海涅歸結原理、柯西收斂準則、閉區間連續函數的五大性質、泰勒定理、實數的完備性定理，尤其第七章較晦澀，大表哥心疼你，說如果覺得太難，可以先緩緩。而第九章，可積性理論，大表哥不敢再心疼你了，如果遇到麻煩點的，我們跳過去，遇到棘手點的，我們緩緩，這樣的修行過程，註定了敗局。如果做一件事讓你很痛苦，恭喜你，這件事是有意義的！關於本章可積的條件，尤其教材打星號的第六小節《可積分性理論補敘》，請同學們系統的複習！
定積分的存在性徹底解決了，接下來自然而然要揭示定積分的性質！
由於定積分的本質仍屬於函數極限的範疇，所以性質中也保留了函數極限存在的性質，比如性質1，2，3，4可歸結為保持四則遠算法則，5,6屬於保不等式性質。這六個性質本身不難理解，但其證明同學們要認真體會，尤其性質3，性質4的證明，達到自己看過幾遍之後會證的程度！
三大中值定理，在處理抽象函數的定積分和估算不等式時，有著較廣泛的應用。積分第一中值定理的幾何意義明顯，即中小學「割補」的思想！而函數乘積形式的中值定理，是第一積分中值定理理論上的推廣，當g(x)=1時，即為積分第一中值定理。積分第二中值定理的證明，綜合難度較大，同學們可以嘗試著讀閱，不必深究，達到看懂的程度即可！
當函數的可積性問題完全搞定，定積分的性質也充分地揭示出來，意味著理論根基已經基本建立，剩下要解決的問題，即定積分的計算！毫無疑問，牛萊公式是計算定積分的首選神器。
而NL公式條件假設f在[a,b]上連續，且存在原函數F,那麼問題又來了？如何保證原函數的存在性?於是，嘻嘻
原函數存在定理溝建立了微分和積分之間的內在橋梁，溝通了兩個看似不相關的對象之間的深刻本質關聯。它告訴我們「連續函數必存在原函數」這一重要的基本事實，並以積分的形式給出了函數f的一個原函數。該定理也譽為「微積分學基本定理」。同學們回憶下我們學過的定理，定理前面一般有個人名，即版權所有者，而不管是誰發明的定理，哪個定理敢稱為「基本定理」？？利用原函數存在定理，還可以大大地簡化牛萊公式的證明，如下：
保證原函數存在的時候，我們就可以當心大膽地把它找出來！那麼定積分的計算問題，其核心技術就相當於求原函數，即求不定積分！
同學們需要注意定積分的換元積分法，在形式上和不定積分的微妙區別。大表哥從以下兩個方面加以區別:
不定積分所求的是被積函數的原函數，因此由換元積分法求得新變量表示的原函數後，必須作變量還原。
上述兩種解法，不管是第一換元法還是第二換元法，最後都做了變量還原！
而定積分的計算結果是一個確定的數，如果等式
一邊的定積分被計算出，則另一邊的定積分亦是同樣的值。所以，定積分在使用牛萊公式時，可以直接在新的積分（即換元之後）區間上求差計算，而不必還原。
2 定積分的換元積分法依賴於積分區間，換元之後下限對應下限，上限對應上限。還要注意所採用的換元，在所求的積分區間上是否可行，更確切地說，要保證換元的函數是一個嚴格單調函數。而不定積分在求原函數時，並不深究換元所在的區間，至於結果是否正確，可通過求導來檢驗（定積分則失效）。再給個簡單的例子，同學們自行體會！
定積分的計算過程中，還會用到一些特殊的結論，比如函數的周期性、奇偶性、變量
替換等。
注 以上的例6 例7選自同濟大學數學系編寫的《高等數學》第七版。兩例的結論同學們可以選記（大表哥建議記住例7，例6不記）！
華東師大的教材《數學分析》上的例6--華萊氏公式（註：不是華萊士快餐那個），是同學們必須要掌握的！
利用華氏公式，可以推出沃利斯（Wallis）公式
沃利斯公式揭示了無理數派與整數極限之間的非常神奇的關係！
本章的內容較多，同學們可能要耗費較大的精力認真備考，文中大表哥非常明確地（具體到知識點）給出了複習所要達到的廣度、強度、深度！大表哥在寫這個指南的時候，也耗費了很多的精力，希望同學們認真閱讀本章的複習指南，我相信，對同學們一定有所幫助！如果你覺得好，並且方便，請擴散給你身邊的同學，咱們共同進步！你們的轉發、點讚和收藏，是大表哥更新的最大動力！
PS:定積分的「定」字包含兩層意思：1 區間有限；2 被積函數有界。
在國外的教材中，定積分=「Proper Integral」。如果否定「定」兩個條件（或其中之一），就變成了「Improper Integral」，按國外原汁原味的寫法，「Improper Integral」是不是應該翻譯成「不定積分」？這樣顯然與第八章不定積分的含義發生了衝突。從數學邏輯的角度，「定積分」應翻譯成「正常積分」，從而更好地與「反常（不正常）積分」相呼應！大表哥不想標新立異什麼，只是談一點點自己的感想！同時對清末狀元李善蘭（他翻譯的）先生致敬！
關注大表哥，數學不翻車。
數學分析第八章《不定積分》備考指南
數學分析第七章《實數完備性》備考指南
數學分析第六章《微分中值定理及其應用》備考指南
數學分析第五章《導數和微分》備考指南
數學分析第四章《函數連續性》備考指南