持續學習:數學分析之冪級數於傅立葉級數

2021-01-08 文話教育

上一篇講到一般的無窮級數理論。就具體運用到的表達函數而言，由兩類特殊的函數項級數是十分重要的：冪級數與三角函數。

冪級數是多項式的推廣，是無窮次的多項式，它的收斂域很特別，是以某點為中心的區間，而且在收斂區間內，和函數是無窮次可微的。

三角級數是一種特殊形式的三角函數的無窮和，用三角級數表示的函數可以是不可微的，甚至不連續，因此表達的函數範圍廣。

由於冪級數使用簡單，以此冪級數與三角級數各有所長，不可互相替代。

冪級數的收斂域與和函數

冪級數：Σan(x-x0)^n = a0 +a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+...+an(x-x0)^n+... ;其中an屬於R，稱為冪級數的係數冪級數的收斂性：1）阿貝爾第一定理：若冪級數在x1收斂，則在x屬於|x1|下，該冪級數都絕對收斂；若級數在x2發散，則對一切x>|x2|，冪級數都發散2）收斂半徑下的定理：冪級數收斂半徑R下，(-R,R)絕對收斂，[-R,R]外都發散，在正負R處可能收斂可能發散3）給定冪級數Σan(x-x0)^n，如果lim |(an+1)/an| = p，或lim 3√|an| = p，則收斂半徑R =1/p冪級數和函數的分析性質：1）阿貝爾第二定理：關於收斂與一致收斂的定理2）連續性3）逐項求導與逐項積分冪級數的運算：1）兩個冪級數相等的概念，同次冪項係數相等2）和函數是奇函數，則不出現偶次冪的項，反之亦然3）兩個冪級數的和與乘積函數冪級數的展開：1）泰勒展開2）麥克勞林展開3）拉格朗日型餘項4）柯西型餘項5）常用的幾個初等函數的冪級數展開

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