考研數學級數之五步搞定法

考研備考中，對高等數學的級數這部分的複習有很多同學存在困擾，究其原因，可能是因為其與微積分的聯繫不是很緊密。但是關於級數斂散性的判別有一些常規步驟，掌握了這些步驟，在其後才能靈活運用它解決更多綜合性的題目。

級數題型及思路（以下內容整理自《高等數學過關與提高》下冊）：

一、判定正項級數的斂散性

1.先看當n趨向於無窮大時，級數的通項是否趨向於零（如果不易看出，可跳過這一步）。若不趨於零，則級數發散；若趨於零，則

2.再看級數是否為幾何級數或p級數，因為這兩種級數的斂散性是書籍的，如果不是幾何級數或p級數，則

3.用比值判別法或根值判別法進行判別，如果兩判別法均失效，則

4.再用比較判別法或其極限形式進行判別，用比較判別法判別，一般應根據通項特點猜測其斂散性，然後再找出作為比較的級數，常用來作為比較的級數主要有幾何級數和p級數等。

二、判定交錯級數的斂散性

1.利用萊布尼茨判別法進行分析判定。

2.利用絕對級數與原級數之間的關係進行判定。

3.一般情況下，若級數發散，級數未必發散；但是如果用比值法或根值法判別出絕對級數發散，則級數必發散。

4.有時可把級數通項拆分成兩個，利用「收斂+發散=發散」「收斂+收斂=收斂」判定。

三、求冪級數的收斂半徑、收斂區間和收斂域

1.若級數冪次是按x的自然數順序遞增，則其收斂半徑由求出，進而可以寫出收斂區間，再考慮區間端點處數項級數的斂散性可得冪級數的收斂域。

2.對於缺項冪級數或x的函數的冪級數，可根據比值判別法求收斂半徑，也可作代換，換成t的冪級數，再求收斂半徑。

四、求冪級數的和函數與數項級數的和

1.求冪級數的和函數主要先通過冪級數的代數運算、逐項微分、逐項積分等性質將其化為幾何級數的形式，再求和。

2.求數項級數的和，可利用定義求出部分和，再求極限；或轉化為冪級數的和函數在某點的函數值。

五、將函數展開為傅立葉級數

將函數展開為傅立葉級數時需根據已有公式求出傅立葉係數，這時可根據函數的奇偶性簡化係數的計算，然後再根據收斂性定理寫出函數與其傅立葉級數之間的關係。

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