還記得我們在講解微積分的最初所講的話題嗎？極限！難道我們被微分積分折磨完以後又要再回到起點研究極限嗎？對！不過我們的研究對象不同了。在這一期推送裡，我們來聊一聊序列與級數。如果你考微積分BC，且對序列與級數頭疼不堪的話請注意了！
術語表：
Sequence：序列（或叫數列）
Infinite series：無窮級數
Converge：收斂
Diverge：發散
什麼？數列？我在高中已經學過，什麼亂七八糟的遞推公式，通項公式之類。而微積分BC中考察的重點則是一個數列中收斂和發散的問題。那麼收斂和發散到底是什麼鬼呢？
定義：
收斂（converge）：如果存在一個實數L，使得一個數列滿足，那麼我們稱數列收斂。
發散（diverge）：如果對於一個數列，不存在，那麼我們稱數列發散。
打個比方，對於通項公式為的數列，我們考察。
所以數列收斂。對於通項公式為的數列，我們仍考察。由之前極限的知識我們知道並不存在，那根據定義，我們知道數列發散。
我們明白了數列的發散和收斂，我們便能來討論級數了
定義：
無窮級數（infinite series）：對於數列，我們把稱為無窮級數。這實際上就是我們在高中學到的無窮數列中各項之和。
總結一下，研究數列的發散和收斂，我們考察的是；研究級數的發散和收斂，我們考察的是的極限
性質：
如果我們想要研究一個無窮級數是否收斂，我們首先要先掌握這些基本性質：
1. 若收斂，則.
2. 和兩者同收斂或發散，其中m為任意大於1的整數
3. 和兩者同收斂或發散，其中c任意非零實數
4. 若和都收斂，則也收斂
方法：
我們同學在看書時也許會被亂七八糟各種判別法搞得很頭疼。那在這裡筆者認為這些判別法如果分散地去記憶，確實非常繁瑣無序，但是如果你把這些判別法組合起來，這樣掌握起來會方便很多。下面分享筆者喜歡的方法。
對於求解一個無窮級數收斂還是發散的問題時，
Step 1：一道題上來第一眼，快速判斷是否為某些特殊級數：例如，。我們介紹下面三種特殊的判別法，在這裡不做詳解。
The p-series test：在時收斂，在時發散，比方說收斂，發散。
The geometric series test：幾何級數若且唯若時收斂。
The nth root test：記。若，則收斂；若，則發散。
Step 2:可是不可能每一題都那麼特殊啊。那麼我們使用The nth term test先進行考察：
若，則發散。
眼尖的同學會發現這其實就是第一條性質的逆否命題。這是一個相當簡單實用的判別法，比方講，問是否收斂，我們第一步先看，該值不為零，所以發散。
Step 3:如果我們發現對於一個無窮級數，例如，此時我們並不能判斷其是否收斂，那我們進入第二步，使用The ration test：
記，若，則收斂；若，則發散。
比方講，對於，我們考察
所以收斂
Step 4:等等，上面第三步方法是不是缺了什麼，當時怎麼辦？比方說求的收斂性，其中a,b均不是0，，第三步的方法不管用了。我們來到第四步，使用The limit comparison test：
若存在且不為零，那麼與同時收斂或者同時發散。那問題就轉化為了對於目標級數，尋找一個輔助級數使得滿足The limit comparison test的條件
比方講，對於，我們考察，因為極限存在且不為零，所以與同時收斂或者同時發散，因為發散，所以發散
Step 5：根本找不到一個匹配第三步方法的級數啊，我怎麼知道對於某個怎麼找到，小編你倒是告訴我呀。
碰到這種情況，比方說求的收斂性，一下子很難找到滿足The limit comparison test所要求的輔助級數，這時，小編不建議你發揚愚公移山的精神契而不舍地尋找，不妨試一下下面的方法，
The comparison test：
若收斂且，則也收斂；若發散且，則也發散
有人講：這不是還是要找一個輔助級數嗎。沒錯，但這個級數在某些問題中是很容易得到的。比方講，而收斂，所以也收斂。
Step 6：如果說第四，第五步中你都沒有找到合適的輔助級數，那你可能就要考慮接下來的方法，之所以小編不把它放在前面是因為他的計算量是我們同學最討厭的。
The integral test：若是一個連續，正值，單調遞減的函數，且，則收斂的充要條件是收斂。
小編建議，除非實在解不出，該方法慎用。
總結：
Step 1：試特殊：The p-series test，The geometric series test，The nth root test
Step 2：看尾項：The nth term test
Step 3：比較尾項：The ration test
Step 4：找幫手：The limit comparison test，The comparison test
Step 5：霸王硬上功：The integral test