相信大家對正項級數的斂散性判斷已經有了一定的了解了，那麼你是否能正確、恰當的應用了呢？本文，小編將帶來五道有一定難度的正項級數斂散性題目，大家可以嘗試下能否正確解答吧！
例題1
先來看一道相對簡單一點的題目，判斷下列級數的斂散性：
雖然上面的正項級數形式簡單，但是解答起來卻不那麼容易。
在判斷級數斂散性時，關注的焦點自然是數列一般項，但是觀察數列一般項到底觀察的是什麼呢？
小編告訴大家，就是觀察n。以本題為例，數列一般項很簡單，n就是一次項，那麼很自然就應該聯想到調和級數，不妨進行下面的嘗試：
當化簡到上面這一步時，答案就出來了，根據比較審斂法的極限形式，原級數發散。
例題2
再來看看下面這個級數，嘗試判斷其斂散性吧！
認真觀察級數，很容易就發現需要用到比較審斂法，為什麼呢？因為級數的數列一般項有餘弦函數的平方，餘弦函數的平方小於或等於1。
因此，級數的數列一般項滿足如下不等式：
那麼如果下方級數收斂，則原級數收斂。
利用比較審斂法很容易就能證明上方級數收斂，此處證明從略。因而原級數收斂。
例題3
前兩道例題不難，接下來看一道斂散性判斷比較難的題目，快來嘗試判斷下面這個級數的斂散性吧。
首先要判斷級數是正項級數、交錯級數還是一般級數。原級數通過化簡可以變成如下形式：
此時聯想到一個常見的不等式，當x>0時，x>ln(1+x)，因此原級數是正項級數。
接下來考慮採用哪個審斂定理來判斷其斂散性。如果大家聯想到x-ln(1+x)，那麼不難聯想到應該考慮x-ln(1+x)是x的幾階無窮小。
在這裡，小編建議大家以後碰到類似情況時儘量用泰勒展開式去求，如果用求導的方式，很容易因為疏忽而扣分。下面小編用泰勒展開式去求，具體過程如下：
如果是用求導方式去求，一定要先化數列極限為函數極限，然後再用洛必達法則。這種方法的具體過程本文從略。
圖1為例題3的解題思路圖。
例題4
相信通過前面的例題已經有點感覺了，那麼繼續判斷下面級數的斂散性吧。
這道題目關鍵在於10次方，不妨試試求導的方式降冪，不過在此之前，一定要先將數列極限轉化為函數極限，具體過程如下：
當化簡到上面這一步時，根據比較審斂法的極限形式，可知原級數發散。