級數的絕對收斂、條件收斂和發散問題

2021-02-28 水蜜桃的數學小屋

 無窮級數是高等數學裡比較難的部分，它的難度很大程度上在於這裡出題比較靈活，綜合性比較強。級數的絕對收斂、條件收斂和發散問題的解題思路比較多樣的。

 在判斷級數是絕對收斂、條件收斂還是發散的時候，我們都要先看它是不是絕對收斂，或者說什麼時候絕對收斂。我們要看它的絕對值級數是不是收斂的。如果不是絕對收斂的，之後的判斷就因題而異了，如果是交錯級數，我們可以再用萊布尼茲準則來看看它是不是條件收斂；如果是正項級數，這時候往往看它是不是發散比較方便。

 【題目一】

遇到級數裡有「a的n次方」「n！」「n的n次方」，首先要想到比值法或者根值法！

這道題我們從比值法入手

水蜜桃同學拿這道題來引出這樣的一個結論。

我們知道，絕對值級數發散，原級數可能條件收斂，也可能發散。但是使用比值或根值法的時候，得到的結果如果大於1時，我們可以直接推出原級數不可能是條件收斂的，只可能是發散的！（這個結論的證明就在這一題中）

【題目2】

這個題目是綜合性很強的，我們多次利用拉格朗日中值定理，最後化歸為等比級數。

證明級數的斂散性往往要把級數和已知斂散性的級數聯繫起來。因為這道題裡並沒有具體的級數，所以我們要充分利用遞推關係來找出這個級數。我們下一期會重點講這個！

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