用非常巧妙的方法證明自然數倒數之和是一個發散級數

2021-01-08 電子通信和數學

前一篇文章我們講述了阿基米德平衡原理引發的有關自然數倒數之和的奧秘，那麼自然數倒數之和是否收斂呢？還是趨於去窮大，這是數學中有關無窮級數的經典問題，歐拉，伯努利，柯西都是處理無窮級數的數學大家，這個問題早已被它們解決，而且延伸出了許多優美的結論，本篇我們從最簡的入手

如下自然數的倒數，它的每個項是不斷趨於無窮小的，

前十項之和等於如下結果

隨著項數的增加，其結果卻增加的越來越緩慢，它是否收斂卻很難判定

自然數倒數之和的級數問題，不同於幾何級數問題，例如，如下級數隨著項數的增加，每一項越來越小，但其結果卻是收斂的

我們看看數學家歐拉柯西的解決方法，許多朋友也許已經非常熟悉了，我們在這裡再回顧下

如下我們將1/3+1/4表示成2個1/4之和，將1/5+1/6+1/7+1/8表示成4個1/8之和，以此類推

你會發現第一行的自然數倒數之和永遠小於第二行所示的無窮級數形式

我們將第二行進行匯整，你會發現第二行各個顏色區域永遠等於1/2

所以自然數倒數之和就可以表示成1+1/2+1/2+……,很明顯這個級數是一個發散級數

我們就得出了自然數倒數之和是一個發散級數，是不收斂的

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