當我們研究無窮級數時
我們會看到什麼
譯者：永恆的貝多芬 原文作者：Luciano Rila
當我們研究無窮時，會發生一些奇特的事情。考慮下面這個和式：
它叫做格蘭迪級數，以義大利數學家、哲學家及牧師G·格蘭迪（1671-1742，下圖）之姓命名。
如果我們以如下方式將它分組
那麼很容易知道S應該等於0，因為每個括號裡都是0。不過，我們也沒理由不用其它的方式分組，比如下面這樣：
在這個情況下，S應該等於1！我們還有第三種方法來計算這個和式。先把它寫成這樣：
我們只不過在頭上加了一個0，你應該同意這樣做不會改變式子的和對吧。如果我們這樣列出兩列：
然後加在一起，就得到：
因此2S應該等於1，這樣S就應該等於1/2。
無窮，但又很乖
如上包含無窮項求和的式子稱為無窮級數，它們給我們對一些非常基本的數學概念（比如加和減）的理解帶來了衝擊。我們下一步要考察的無窮級數稱為幾何級數：
對它，我們有一個巧妙的求和法，就是用下面的圖：
畫一個邊長為1的正方形，中分為兩個長方形，面積各為1/2。然後如圖將其中一個長方形又一分為二，得到兩個面積為1/4的正方形。再將其中一個正方形分成兩半，得到兩個面積為1/8的長方形，以此類推，直至無窮。總面積（我們每次剩下沒再分隔的正方形和長方形）和幾何級數所有項的和相同。因為這個總面積就是大正方形的面積，所以幾何級數應該就等於1。
確實，數學家也同意這個結論。他們會說這個級數收斂於1。正式的收斂是通過數列的部分和來定義的：
以此類推。
部分和給出一個序列：1/2、3/4、7/8、15/16……越來越接近1；實際上，只要我們一直加項，它們就可以任意地接近1。通常，如果一個無窮級數的部分和序列以這種方式收斂於一個有限值a，我們就說這個無窮級數收斂於a。
注意到，前面提到的格蘭迪級數不具備這種性質。它的部分和如下：
以此類推。它的部分和永遠在1和0之間跳躍，不收斂於一個有限的值，所以我們對它沒有一個理所當然的賦值方法。
無窮和發散
上面幾何級數收斂於1看上去是相當地直觀。它的每一項，1/2、1/4、1/8等等越來越小，所以儘管我們一直在做加法，讓它的和越來越大，但我們加的量到底還是太小，最後的和不超過1也沒什麼好驚訝的——但是，這樣的論證是不妥當的。我們來看看下面的調和級數：
它和之前研究過的幾何級數類似，後面的項越來越小。但出人意料的是，調和級數是發散的：部分和序列越來越大，而且可以衝破任何上限（下圖）。我們稱這樣的級數趨於無窮大。
如果你不信，這裡給出一個調和級數發散的反證法。在反證法裡，我們先假定我們要證明的結論的反面是對的，然後讓論證導出一個矛盾。如果我們要證明命題A為真，我們就先假設其反面、即非A為真。如果這個假設導出矛盾，那麼就說明非A為假，那麼我們的原命題A就一定是真的。現在，我們想證明調和級數發散，所以我們先假設其收斂於一個正值H。
我們知道：
以此類推。所以，如果我們把級數中奇數的分母換成相應的下一位偶數，就有如下不等式：
如果我們將相同分母的項相加，就得到：
上式右邊又出現了調和級數，只是加了一個額外的1/2。由此得到：
因為這個矛盾是從我們假設調和級數收斂得到的，因此我們得出假設為假的結論：調和級數不收斂。隨著部分和序列被加上越來越小的增量（每步都加上形為1/n的項），其結果也越來越大。唯一的可能就只能是部分和序列會超過任何上限（而不會像格蘭迪級數那樣跳來跳去）。由此H發散得證。
無窮，還很怪
當我們考察交錯調和級數時，情況變得古怪起來。交錯調和級數形似調和級數，但每隔一項改為負數，其定義如下：
我們可以證明它收斂於ln2≈0.7（這裡ln2表示2的自然對數）。你可以用計算器加加看，如果學過微積分，可以將ln(x+1)展開為泰勒級數，然後取x=1處的值。
所以我們就以這個事實起頭，記
現在，我們將等式兩邊乘以2
我們把它做做簡化，讓所有分母為偶數的分數先約分，然後和同分母的項組成一組（你會發現只有分母為奇數的項配成了對），得到式（1）：
去掉括號可得：
右邊就是交錯調和級數，所以我們似乎證明了
這是什麼鬼？我們的證明一定有哪裡搞錯了，但不可思議的是，實際上上面的證明是沒有問題的。對這個矛盾的解釋是，我們在調整了交錯調和級數各項的位置後，級數收斂到另一個值上了。式（1）右邊可以寫成
問題在於，雖然
收斂於ln2，重排後的級數
卻收斂於
——儘管這兩個級數具有相同的項！（上式其實就等於½ln2——譯者按）
數學家黎曼（1826-1866）證明了一個有關無窮級數重排的重要結論。
我們來看看怎麼理解這件事。在初始的交錯調和級數中，我們從1開始，先減去1/2，再加上1/3，然後減去1/4，以此類推。每加一項我們又減掉了一項。而在交錯調和級數的第二種表達式中，我們在加一項後連著減去兩項。你覺得這樣會怎麼樣呢？
下圖表明了每添加一項後二者前25個部分和的變化。綠點表示初始交錯調和級數的部分和，紫點表示重排後的級數的部分和。這張圖表明了兩個級數將收斂到不同的值上。
其實，我們可以重新排列交錯調和級數使它收斂到任意想要的值上。動手算算下面的級數收斂到幾，答案見本篇最下。
對那些只含正項的收斂級數，調整各項的順序則不會影響它的和。我想，你一定會為此感到欣慰吧（笑）。
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答
案
是
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大約1.04。
轉自譯言 鳴謝