數學家是如何研究分數函數的無窮級數的

2021-01-14 電子通信和數學

萊昂哈德.歐拉，雅各布.伯努利 棣莫弗對無窮級數問題做了深入研究，他們都是處理無窮級數的高手。我們來看看數學家是如何處理無窮級數和函數之間的關係的。

我們來看一個簡單的分數函數

用一般的方法：連續進行除法運算可以把分數化解為關於Z的無窮級數，明顯是一個幾何級數

我們也可以用比較係數法，令

兩邊乘以分母得到

展開得到

比較0次冪的係數得到a=ɑA，那麼Z的其餘各次冪的係數都是0得到

可以看出我們知道了任何一個係數都可以求出它後面的一個，例如求出了A，從它我們依次求出了B,C,D。結果與連續進行除法運算得到的無窮級數是一致的。

我們繼續擴展到分母是二次三項式的情況，

這裡用除法太繁瑣，直接用比較係數法，令

兩邊乘以分母得到

比較係數法得到：a=ɑA，b=ɑB+βA，依次求出係數A,B的值，同理所有係數都可以從如下方程求出

我們看到，知道了相鄰的兩個係數，就可以求出它們下面的一個，例如相鄰的兩個係數P,Q,它們下面的一個就是R，則得到

接下來的C,D,E,F...都可以求出來。這樣我們就得到了整個分數函數的無窮級數。

所以關於分數函數展開成無窮級數，我們已經找到了由一個或幾個相鄰係數決定下一個係數的規律，並可以展成無窮級數：

分母是ɑ+βZ時，任何一個係數Q都是有前一個係數P決定，分母是ɑ+βZ+γZ^2時，任何一個係數R都是由它的前兩個係數Q和P決定，分母是四項式ɑ+βZ+γZ^2+δZ^3時，任意一個係數S由它的前三個係數P,Q,R決定，且P,Q,R，S間的關係是為：ɑS+βR+γQ+δP=0，對於更高類型的，情況類似。

所以對於任何一個分數函數，根據它的分母，我們可以立即寫出一個公式，根據這個公式展成的級數項可由它的前幾項決定。著名數學家棣莫弗對這類級數進行了詳細的研究。並給它起了一個名字叫遞推級數。

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