關於2點鐘：無窮級數
Σ是求和公式，也是歐拉大神所創，後面這塊呢，其實之前在《有一點數學悖論：芝諾的烏龜》中提過，叫幾何級數，什麼叫級數呢？
簡單說，級數就是把數列各項用加號連接起來的函數，比如幾何級數就是：
這貨跟幾何有什麼關係呢？為什麼叫幾何級數，以r=2為例吧，話不多說直接上圖：
這是一個面積為2的正方形，可以分割成如圖的一些小矩形的面積之和，按這樣切割的順序一直加下去，便有了：
當然可能會有同學質疑說這麼一直加下去怎麼就等於2了呢？為什麼不是小於2？
利用等比數列求和公式：
當n無窮大時，我們認為：
不用糾結這個，因為這便是最好的結果。
當然如果實在說服不了自己的話，就換個思路想，這個算式的結果不可能大於2吧，也無法說明其小於2，如果小於，小多少呢？所以只能承認
這是阿基米德說的。
類似這樣的思路，考慮設計：
在這裡，大正方形的面積為1，綠色部分和黃色部分是對對稱的兩部分，足以說明：
再來個
大正方形的面積為1，所以最後的結果是1/3！
幾何級數因為是無限相加，所以也叫無窮級數，如果「級數」這個詞看著彆扭，就理解為是無窮個數相加好了。既然是加法當然我們要求結果啦，求不出結果的式子其存在毫無意義，所以會有求不出結果的式子嗎？
還真的有！
S=1-1+1-1+1-1+……
S的值為多少？
法1：S=（1-1）+（1-1）+（1-1）+……=0
法2：S=1+（-1+1）+（-1+1）+……=1
法3：S=1-（1-1+1-1+1-1+……）=S，∴S=0.5
哇塞，竟然想出了三種方法！
哇塞，三種方法的結果居然還不一樣！
那哪個是正確答案？感覺這三個看起來都有道理，作為一門嚴謹的學科，最怕感覺這麼回事，因為感覺是不講道理的，偏偏數學要以理服人。
其實這三種做法都用到了「加法結合律」！什麼是加法結合律，這應該是小學內容了吧：a+b+c=a+（b+c）
在計算加法的時候可以先把後面的部分先加起來，但要注意的是，我們所說的計算都是有限個數的計算，而我們上面的題目可是求一個無窮級數的結果，所以問題就出在這裡！
我們不能拿有限數的計算方法用在無限當中，這便是我們沒有感覺出有差別的地方。講真，察覺不出這一點很正常，但不要習以為常，對於計算的每一步，請考慮是否完全等價！
所以以上都不是正確答案，這個算式沒有答案。在無窮的世界裡會有很多我們想像不到的結果，比如整體可以等於部分，比如說無窮也分可數與不可數等等，所以出現這樣沒有結果的結果也不用太意外了。
那什麼樣的無窮相加才會有結果呢？我們想要的結果當然是一個數咯，稍微分析一下我們就會發現，這串數列後面的數必須得越來越小，在無窮處趨近於零，即我們所謂的極限為0，這樣才能有個結果。
正如前面所舉的例子：這些當n趨近於無窮大時，結果都為0，這樣才有可能得到一個數字作為結果，像這樣的級數稱為是收斂的。
反觀1+1+1+1+……，結果便只能是無窮大，並不能得到一個確定的數字。像這樣的級數我們稱為是發散的。
那是不是只要滿足這一串相加的數列的極限為0就好了呢？
計算：
這個級數我們稱為叫調和級數，一直加下去，結果會是多少呢？
感覺一下？
結果等於正無窮，因為
所以想要結果有多大就有多大，也就是說即便這串數列的極限為0也不能保證一定由結果。
再比如還可以這麼解釋：
所以調和級數是發散的。
因而數列極限為0僅僅是必要條件（想要有結果必須得滿足這個），還不夠充分（即便滿足這個也不一定有結果），並不能保證一定有個結果。
不過既然是必要條件，說明還是會有一些例子是可以求得結果的。
著名的「貝塞爾」問題
首先這個結果肯定不會無窮大，用我們初中知識便可以解決：
歐拉大神說：
什麼？這玩意怎麼和π還有關係！
因為sinx/x的解集為
考慮x²項係數對應相等，即有：
雖然證明過程還略有不完善之處，但瑕不掩瑜。
作為一個問題的完整回答，必須得再補上問題的正解，對於級數
記：
這裡的Sn稱為前n項和，既然是求和，不妨一步一步來，我們想要的結果是一個確定的數值，那就從前n項和的規律來探討。
當n趨近於無窮大時，若Sn的極限存在，則此極限便是無窮級數的結果。
所以所謂的無窮相加的結果，即是前n項和的極限，若極限不存在，則亦不存在相加的結果。
在無窮面前，我們的想像力確實有一點渺小。
謝謝閱讀。
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