用現代的眼光看牛頓二項式定理簡單而美妙，但最初的數學家用它卻得到許多函數的無窮級數，這不但需要高超的數學技巧，更需要靈活的數學思維。本篇將要闡述的指數函數的無窮級數就是其中一例。
當a大於1時，a的冪隨a的增加而增加，當數ω是一個無窮小時，a^ω=1,所以我們可以將a的冪寫成如下的等式關係
當ψ不是無窮小時，ω就也不是無窮小，所以ψ和ω關係有三種：ψ=ω，ψ>ω，ψ<ω,所以我們可以假設ψ=Kω
我們繼續得到
根據二項式展開得到
令i=z/ω,其中z為有限數，ω是無窮小，則i就是無窮大，ω=z/i就是一個分母為無窮大的分數，將ω換成z/i，得到
其中K是一個確定的依賴於a的數，i是無窮大時有：
i大於任何給定的數值時，上式就等於1。類似地我們得到
等等，由此得到
我們帶入上式a^z的表達式得到：
該級數還表示了a與K之間的關係，如果令z=1得到
聰明你會一眼看出K=1時，a=e，
當a=10時，近似地有K=2.30258
如果設b=a^n，如果以a為底取對數，得到Logb=n，由b^z=a^nz,我們得到無窮級數
將n換成Logb，得到
K可由底a求得，可見任何一個指數函數b^z都可以表示成按z的冪排列的無窮級數，這裡的a可以是任何數值。
當K=1時，a=e，所以上式Logb就可以用Inb代替就得到
上述就是用初等數學中的牛頓二項式定理得到指數函數的無窮級數，可見牛頓二項式定理的無窮魅力。