牛頓和歐拉跨時空的合作：從廣義二項式定理談起

2020-08-27 創意在行動

牛頓（Isaac Newton）在回到家鄉躲避瘟疫的三年裡做出了很多重要的貢獻， 比如：發現萬有引力定律，發明微積分。這些貢獻是大眾熟知的，在很多的科學文獻以及課本中都能看到這些內容的介紹， 其實在那三年裡牛頓在代數學上也做出了一個很傑出的成果，這個成果就是：廣義二項式定理。


牛頓


廣義二項式定理雖然沒有萬有引力定律以及微積分那樣讓大眾熟知，但是在代數學中確有著非常重要的應用，這個定理可以幫助我們理解無窮級數。這個定理的內容如下圖所示：


牛頓廣義二項式定理


萊昂哈德·歐拉

這一定理是帕斯卡二項式定理的推廣，更一般的情況是任意實數次的情況，雖然牛頓在1664年至1665年這一段時間給出了這個定理，但是卻沒有給出證明，所以嚴格地講在牛頓的時代這一命題只能說是猜想，有理數次冪的情況的證明由萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）完成，他為了證明牛頓的命題首先構造了一個函數f性質如下圖所示：


歐拉構造的函數


我們知道當m與n為正整數時，我們得到的是帕斯卡的二項式定理，我們可以把這些展開式寫成如下圖形式，我們之所以可以寫成無限項的形式是因為如果（x+1）的n次冪的展開式如果進行升冪排列，第n+2項開始係數將會出現（n-n）這個因子，所以之後的項都為0了，因此上圖的內容可知在n或m為正整數時展開式為有限項 。

如果m與n為正整數，那麼根據帕斯卡的二項式定理可以將f（m）與f（n）寫成如下圖的形式：


帕斯卡二項式定理應用


由上圖我們知道當m和n為正整數時，f（m）乘f（n）等於f(m+n），我們知道當f（m）乘f（n）相當於是做了如下所示的乘法：


歐拉證明廣義二項式定理核心法則


由上圖可知，當整數m與n替換為有理數m1與n1時（甲）這一行的左右兩邊是相等的，這是一個基本的代數學原理！因此我們得到了f的更多的性質，歐拉就是利用上圖展現的法則巧妙地證明了牛頓廣義二項式定理！

當m與n為任意的有理數時，根據f的性質可知下圖所示的結論：

函數f的性質推廣

歐拉首先考慮的是正有理數次冪的情況，我們知道任何的正有理數q都可以表示成k/h的形式,其中k與h都是正整數，根據函數f的性質我們可以得到當函數自變量為k/h時函數的展開式，接著歐拉利用函數f性質的結論建立了f（q）與f（k）之間的關係，因為f（k）的展開是（1+x）的 k次冪的展開，而（1+x）的 k次冪等於f（q）的h次方，因此我們可以求得f（q）等於（1+x）的 k次冪的h次方根，因此證明了正有理數次冪情況下的二項式定理，具體步驟如下圖所示：

正有理數次冪二項式定理證明

為了證明當二項式冪指數為負有理數時的情況，實際上我們只要研究當f（-n)與f（n)的關係就可以了，其中n為正有理數，具體的推導過程如下圖所示：


這樣歐拉就證明了當二項式冪指數為有理數時的廣義二項式定理！

牛頓提出了廣義二項式命題，而歐拉證明了這一命題使之成為定理，兩位數學家雖然不是生活在同一時代，但是都對二項式定理的研究做出了自己的貢獻，可謂是一次跨時空的合作！

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